? ЯК знайти градієнт

При розгляді питань, що включають поняття градієнта, найчастіше функції сприймають як скалярні поля. Тому необхідно ввести відповідні позначення.

Вам знадобиться

- буму;
- ручка.

Інструкція

Нехай функція задається трьома аргументами u = f (x, y, z). Приватну похідну функції, на приклад по х, визначають як похідну по цьому аргументу, отриману при фіксуванні інших аргументів. Для решти аргументів аналогічно. Позначення приватної похідною записується у вигляді: Дf / дх = u'x ...

Повний диференціал буде дорівнює du = (Дf / дх) dx + (Дf / дy) dy + (Дf / дz) dz.

Приватні похідні можна розуміти, як похідні за напрямками координатних осей. Тому виникає питання про знаходження похідної по напрямку заданого вектора s в точці M (x, y, z) (не забувайте, що напрямок s задає одиничний вектор-орт s ^ o). При цьому вектор-диференціал аргументів {dx, dy, dz} = {дscos (альфа), дsсоs (бета), дsсоs (гамма)}.

Враховуючи вид пального диференціала du, можна зробити висновок, що похідна за напрямком під-нию s в точці М дорівнює:

(Дu / ДS) | M = ((Дf / дх) | M) соs (альфа) + ((Дf / дy) | M) соs (бета) + ((Дf / дz) | M) соs (гамма).
Якщо s = s (sx, sy, sz), то напрямні косинуси {соs (альфа), соs (бета), соs (гамма)} обчислюються (див. Рис.1).

Визначення похідної по напрямку, вважаючи точку М змінної, можна переписати у вигляді скалярного твори:
(Дu / ДS) = ({Дf / дх, Дf / дy, Дf / дz}, {соs (альфа), соs (бета), соs (гамма)}) = (grad u, s ^ o).

Цей вираз буде справедливо для скалярного поля. Якщо розглядається просто функ-ція, то gradf - це вектор, який має координати, що збігаються з приватними похідними f (x, y, z).

gradf (x, y, z) = {{Дf / дх, Дf / дy, Дf / дz} =) = (Дf / дх) i + (Дf / дy) j + (Дf / дz) k.

Тут (i, j, k) - орти координатних осей у прямокутній декартовій системі координат.

Якщо використовувати диференційний вектор-оператор Гамільтона Набла, то gradf можна записати, як множення цього вектора-оператора на скаляр f (див. Рис. 1б).

З точки зору зв'язку gradf c похідною за напрямком, рівність (gradf, s ^ o) = 0 можливо, якщо ці вектори ортогональні. Тому gradf часто визначають, як напрямок якнайшвидшого зміни скалярного поля. А з точки зору диференціальних операцій (gradf - одна з них), властивості gradf в точності повторюють властивості диференціювання функцій. Зокрема, якщо f = uv, то gradf = (vgradu + u gradv).