ЯК знайти середину вектора

Вектор - це величина, яка характеризується своїм чисельним значенням і напрямком. Іншими словами, вектор - це спрямований відрізок. Положення вектора AB в просторі задається координатами точки початку вектора A і точки кінця вектора B. Розглянемо, як визначити координати середини вектора.

Інструкція

Для початку визначимося з позначеннями початку і кінця вектора. Якщо вектор записаний як AB, то точка A є початком вектора, а точка B - кінцем. І навпаки, для вектора BA точка B є початком вектора, а точка A - кінцем. Нехай нам заданий вектор AB з координатами початку вектора A = (a1, a2, a3) і кінця вектора B = (b1, b2, b3). Тоді координати вектора AB будуть наступними: AB = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3), тобто з координати кінця вектора необхідно відняти відповідну координату початку вектора. Довжина вектора AB (або його модуль) обчислюється як корінь квадратний із суми квадратів його координат: | AB | = v ((b1 - a1) ^ 2 + (b2 - a2) ^ 2 + (b3 - a3) ^ 2).

Знайдемо координати точки, що є серединою вектора. Позначимо її буквою O = (o1, o2, o3). Знаходяться координати середини вектора так само, як координати середини звичайного відрізка, за такими формулами: o1 = (a1 + b1) / 2, o2 = (a2 + b2) / 2, o3 = (a3 + b3) / 2. Знайдемо координати вектора AO: AO = (o1 - a1, o2 - a2, o3 - a3) = ((b1 - a1) / 2, (b2 - a2) / 2, (b3 - a3) / 2).

Розглянемо приклад. Нехай дано вектор AB з координатами початку вектора A = (1, 3, 5) і кінця вектора B = (3, 5, 7). Тоді координати вектора AB можна записати як AB = (3 - 1, 5 - 3, 7 - 5) = (2, 2, 2). Знайдемо модуль вектора AB: | AB | = v (4 + 4 + 4) = 2 * v3. Значення довжини заданого вектора допоможе нам для подальшої перевірки правильності координат середини вектора. Далі знайдемо координати точки O: O = ((1 + 3) / 2, (3 + 5) / 2, (5 + 7) / 2) = (2, 4, 6). Тоді координати вектора AO розраховуємо як AO = (2 - 1, 4 - 3, 6 - 5) = (1, 1, 1).

Виконаємо перевірку. Довжина вектора AO = v (1 + 1 + 1) = v3. Згадаймо, що довжина вихідного вектора дорівнює 2 * v3, тобто половина вектора дійсно дорівнює половині довжини вихідного вектора. Тепер розрахуємо координати вектора OB: OB = (3 - 2, 5 - 4, 7 - 6) = (1, 1, 1). Знайдемо суму векторів AO і OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Отже, координати середини вектора були знайдені вірно.