ЯК знайти направляючі косинуси вектора

Позначте через альфа, бета і гамма кути, утворені вектором а з позитивним напрямком координатних осей (див. Рис.1). Косинуси цих кутів називаються напрямними косинусами вектора а.

Вам знадобиться

- папір;
- ручка.

Інструкція

Так як координати а в декартовій прямокутній системі координат дорівнюють проекціям вектора на координатні осі, тоа1 = | a | cos (альфа), a2 = | a | cos (бета), a3 = | a | cos (гамма). Звідси: cos (альфа) = a1 || a |, cos (бета) = a2 || a |, cos (гамма) = a3 / | a |. При цьому | a | = sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2). Значить cos (альфа) = a1 | sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2), cos (бета) = a2 | sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2), cos (гамма) = a3 / sqrt (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2).

Слід зазначити основну властивість напрямних косинусів. Сума квадратів напрямних косинусів вектора дорівнює едініце.Действітельно, cos ^ 2 (альфа) + cos ^ 2 (бета) + cos ^ 2 (гамма) == a1 ^ 2 | (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) + a2 ^ 2 | ( a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) + a3 ^ 2 / (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) = = (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) | (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) = 1.

Перший способПрімер: дано: вектор а = {1, 3, 5). Знайти його напрямні косінуси.Решеніе. Відповідно до знайденим випишемо: | а | = sqrt (ax ^ 2 + ay ^ 2 + az ^ 2) = sqrt (1 + 9 + 25) = sqrt (35) = 5,91. Таким чином, відповідь можна записати в такій формі: {cos (альфа), cos (бета), cos (гамма)} = {1 / sqrt (35), 3 / sqrt (35), 5 / (35)} = { 0,16-0,5-0,84}.

Другий способПрі знаходженні напрямних косинусів вектора а, можна використовувати методику визначення косинусів кутів за допомогою скалярного твори. В даному випадку на увазі маються кути між а і направляючими одиничними векторами прямокутних декартових координат i, j і k. Їх координати {1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}, відповідно. Слід нагадати, що скалярний добуток векторів визначається так. Якщо кут між векторами ф, то скалярний добуток двох вітрів (за визначенням) - це число, що дорівнює добутку модулів векторів на cosф. (A, b) = | a || b | cos ф. Тоді, якщо b = i, то (a, i) = | a || i | cos (альфа), або a1 = | a | cos (альфа). Далі всі дії виконуються аналогічно способу 1, з урахуванням координат j і k.