ЯК знайти похідну неявної функції

Функції задаються співвідношенням незалежних змінних. У випадку, якщо рівняння, що задає функцію, не вирішуване щодо змінних, то функція вважається заданою неявно. Для диференціювання неявних функцій існує особливий алгоритм.

Інструкція

Розгляньте неявну функцію, задану деяким рівнянням. При цьому неможливо виразити залежність y (x) в явному вигляді. Наведіть рівняння до виду F (x, y) = 0. Щоб знайти похідну y '(x) від неявної функції, спочатку продіфференціруйте рівняння F (x, y) = 0 по відношенню до змінної x, враховуючи, що y дифференцируема по x. Використовуйте правила обчислення похідної складної функції.

Вирішіть отримане після диференціювання рівняння відносно похідної y '(x). Підсумкова залежність і буде похідною неявно заданої функції по змінній x.

Вивчіть приклад для найкращого розуміння матеріалу. Нехай функція задана в неявній формі як y = cos (xy). Наведіть рівняння до виду y-cos (xy) = 0. Продіфференціруйте це рівняння по змінній x, застосовуючи правила диференціювання складної функції. Отримуємо, y '+ sin (x-y) - (1-y') = 0, тобто y '+ sin (x-y) -y'-sin (x-y) = 0. Тепер вирішите отримане рівняння щодо y ': y' - (1-sin (xy)) = - sin (xy). У підсумку виходить, що y '(x) = sin (xy) divide- (sin (xy) -1).

Знайдіть похідну неявної функції декількох змінних наступним чином. Нехай задана функція z (x1, x2, ..., xn) в неявній формі рівнянням F (x1, x2, ..., xn, z) = 0. Знайдіть похідну F '| x1, вважаючи змінні x2, ..., xn, z постійними. Аналогічно обчисліть похідні F '| x2, ..., F' | xn, F '| z. Після цього висловіть приватні похідні у вигляді z '| x1 = -F' | x1divide-F '| z, z' | x2 = -F '| x2divide-F' | z, ..., z '| xn = -F' | xndivide-F '| z.

Розгляньте приклад. Нехай задана функція двох невідомих z = z (x, y) формулою 2xsup2-z-2zsup2- + yzsup2- = 6x + 6z + 5. Наведіть рівняння до виду F (x, y, z) = 0: 2xsup2-z-2zsup2- + yzsup2--6x-6z-5 = 0. Знайдіть похідну F '| x, вважаючи y, z постійними: F' | x = 4xz-6. Аналогічно, похідна F '| y = zsup2-, F' | z = 2xsup2--4z + 2yz-6. Тоді z '| x = -F' | xdivide-F '| z = (6-4xz) divide- (2xsup2--4z + 2yz-6), а z' | y = -F '| ydivide-F' | z = -zsup2-divide- (2xsup2--4z + 2yz-6).