? ЯК розрахувати похідну

Похідна певної функції розраховується методом диференціального обчислення. Похідна в даній точці показує швидкість зміни функції і дорівнює межі приросту функції до приросту аргументу.

Інструкція

Похідна функції - центральне поняття теорії диференціального числення. Визначення похідної через відношення межі приросту функції до приросту аргументу є найпоширенішим. Похідні можуть бути першого, другого і вищих порядків. Прийнято позначення похідної у вигляді знака апострофа, наприклад, F '(x). Друга похідна позначається F '' (x). Похідна n-го порядку - F ^ (n) (x), при цьому n - ціле число більше 0. Це метод позначення Лагранжа.

Похідна від функції декількох аргументів, отримана по одному з них, називається приватної похідною і є одним з елементів диференціала функції. Сума похідних одного порядку по всіх аргументів вихідної функції є її повним диференціалом цього порядку.

Розглянемо розрахунок похідної на прикладі диференціювання простої функції f (x) = x ^ 2. За визначенням: f '(x) = lim ((f (x) - f (x_0)) / (x - x_0)) = lim ((x ^ 2 - x_0 ^ 2) / (x - x_0)) = lim ((x - x_0) * (x + x_0) / (x - x_0)) = lim (x + x_0) .При тому, що x -> x_0 маємо: f '(x) = 2 * x_0.

Для полегшення знаходження похідної існують правила диференціювання, що дозволяють прискорити час розрахунку. Основні правила такі: • C '= 0, де C - константа- • x' = 1 • (f + g) '- f' + g'- • (f * g) '= f' * g + f * g'- • (C * f) '= C * f'- • (f / g)' = (f '* g - f * g') / g ^ 2.

Для знаходження похідної n-го порядку використовується формула Лейбніца: (f * g) ^ (n) =? C (n) ^ k * f ^ (nk) * g ^ k, де C (n) ^ k - біноміальні коефіцієнти.

Похідні деяких найпростіших і тригонометричних функцій: • (x ^ a) '= a * x ^ (a-1) - • (a ^ x)' = a ^ x * ln (a) - • (sin x) '= cos x- • (cos x) '= - sin x- • (tg x)' = 1 / cos ^ 2 x- • (ctg x) '= - 1 / sin ^ 2 x.

Розрахунок похідної складної функції (композиції двох або більше функцій): f '(g (x)) = f'_g * g'_x.Ета формула дійсна тільки у випадку, якщо функція g дифференцируема в точці x_0, а функція f має похідну в точці g (x_0).