ЯК шукати похідну :: Математика

Диференціювання функцій, тобто знаходження їх похідних - основа основ математичного аналізу. Саме з відкриття похідних, власне, і почався розвиток цієї галузі математики. У фізиці, а також і в інших дисциплінах, які мають справу з процесами, диференціювання відіграє найважливішу роль.

Інструкція

У найпростішому визначенні, похідною від функції f (x) в точці x0 називається межа відносини збільшення цієї функції до приросту її аргументу, якщо приріст аргументу прямує до нуля. У певному сенсі, похідна позначає швидкість зміни функції в даній точці.
Прирощення в математиці позначаються літерою?. Приріст функції? Y = f (x0 +? X) - f (x0). Тоді похідна буде дорівнює f? (X0) = lim (? Y /? X),? X> 0 =? Y /? X. Знак? позначає нескінченно малий приріст, або диференціал.

Функція g (x), для якої в будь-якій точці x0 її області визначення g (x0) = f? (X0) називається похідною функцією, або просто похідною, і позначається f? (X).

Щоб обчислити похідну заданої функції, можна, виходячи з її визначення, порахувати межа відносини (? y /? x). При цьому найкраще перетворити цей вираз так, щоб? X можна було в результаті просто опустити.
Наприклад, припустимо, що вам потрібно знайти похідну від функції f (x) = x ^ 2. ? Y = (x +? X) ^ 2 - x ^ 2 = 2x? X +? X ^ 2. Це означає, що межа відносини? Y /? X дорівнює межі вираження 2x +? X. Очевидно, що якщо? X прагне до нуля, то це вираження прагне до 2x. Отже, (x ^ 2)? = 2x.

Безпосереднім обчисленням знаходять базові, т.зв. табличні похідні. При вирішенні завдань на знаходження похідних потрібно завжди намагатися звести задану похідну до табличних.

Похідна будь константи завжди дорівнює нулю: (C)? = 0.

Для будь-якого p> 0 похідна від функції x ^ p дорівнює p * x ^ (p-1). Якщо p < 0, то (x^p)? = -1/(p*x^(p+1)). Например, (x^4)? = 4x^3, а (1/x)? = -1/(x^2).

Якщо a> 0 і a? 1, то (a ^ x)? = (A ^ x) * ln (a). З цього, зокрема, випливає, що (e ^ x)? = E ^ x.
Похідна логарифма x по підставі a дорівнює 1 / (x * ln (a)). Таким чином, (ln (x))? = 1 / x.

Похідні тригонометричних функцій пов'язані між собою простим співвідношенням:
(Sin (x))? = Cos (x) - (cos (x))? = -sin (X).

Похідна суми функцій дорівнює сумі похідних: (f (x) + g (x))? = F? (X) + g? (X).

Якщо u (x) і v (x) - функції, у яких є похідні, то (u * v)? = U? * V + u * v ?. Наприклад, (x * sin (x))? = X? * Sin (x) + x * (sin (x))? = Sin (x) + x * cos (x).
Похідна від приватного u / v дорівнює (u? * V - u * v?) / (V ^ 2). Наприклад, якщо f (x) = sin (x) / x, то f? (X) = (sin (x) - x * cos (x)) / (x ^ 2).
З цього, зокрема, випливає, що якщо k - константа, то (k * f (x))? = K * f? (X).

Якщо дана функція, яку можна представити у вигляді f (g (x)), то f (u) називається зовнішньою функцією, а u = g (x) - внутрішньою. Тоді f (g (x))? = F? (G (x)) * g? (X).
Наприклад, якщо дана функція f (x) = sin (x) ^ 2, то f? (X) = 2 * sin (x) * cos (x). Тут квадрат - зовнішня функція, а синус - внутрішня. З іншого боку, sin (x ^ 2)? = Cos (x ^ 2) * 2x. У цьому прикладі синус - зовнішня функція, а квадрат - внутрішня.

Тим же шляхом, що і похідну, можна обчислити похідну від похідної. Така функція буде називатися другої похідної від f (x) і позначатися f? (X). Наприклад, (x ^ 3)? = (3x ^ 2)? = 6x.
Можуть існувати і похідні вищих порядків - третя, четверта і т.д.