ЯК знайти повний диференціал функції :: Полнй диференціал

Поняття повного диференціала функції вивчається в розділі математичного аналізу поряд з інтегральним обчисленням і передбачає визначення приватних похідних по кожному аргументу вихідної функції.

Інструкція

Диференціал (від лат. «Різницю») - це лінійна частина повного приросту функції. Диференціал прийнято позначати df, де f - функція. Функцію одного аргументу іноді зображають dxf або dxF. Припустимо, є функція z = f (x, y), функція двох аргументів x і y. Тоді повний приріст функції буде мати вигляд:
f (x, y) - f (x_0, y_0) = f'_x (x, y) * (x - x_0) + f'_y (x, y) * (y - y_0) +?, де? - Нескінченно мала величина (?> 0), яка ігнорується при визначенні похідної, оскільки lim? = 0.

Диференціал функції f по аргументу x є лінійною функцією відносно приросту (x - x_0), тобто df (x_0) = f'_x_0 (? x).

Геометричний зміст диференціала функції: якщо функція f диференційовна в точці x_0, то її диференціал в цій точці є прирощення ординати (y) дотичній лінії до графіка функції.

Геометричний зміст повного диференціала функції двох аргументів - це тривимірний аналог геометричного сенсу диференціала функції одного аргументу, тобто це прирощення аппликати (z) дотичної площини до поверхні, рівняння якої задано дифференцируемой функцією.

Можна записати повний диференціал функції через приросту функції і аргументів, це більш загальноприйнята форма запису:
?z = (? z /? x) dx + (? z /? y) dy, де? z /? x - похідна функції z по аргументу x,? z /? y - похідна функції z по аргументу y.
Кажуть, що функція f (x, y) диференційовна в точці (x, y), якщо при таких значеннях x і y можна визначити повний диференціал цієї функції.

Вираз (? Z /? X) dx + (? Z /? Y) dy і є лінійна частина приросту вихідної функції, де (? Z /? X) dx - диференціал функції z по x, а (? Z /? Y) dy - диференціал по y. При диференціюванні по одному з аргументів передбачається, що інший аргумент чи аргументи (якщо їх декілька) - постійні величини.

Приклад.
Знайдіть повний диференціал наступної функції: z = 7 * x ^ 2 + 12 * y - 5 * x ^ 2 * y ^ 2.

Рішення.
Використовуючи припущення, що y - постійна величина, знайдіть приватну похідну по аргументу x,
?z /? x = (7 * x ^ 2 + 12 * y - 5 * x ^ 2 * y ^ 2) 'dx = 7 * 2 * x + 0 - 5 * 2 * x * y ^ 2 = 14 * x - 10 * x * y ^ 2
Використовуючи припущення, що x - постійна величина, знайдіть приватну похідну по аргументу y:
?z /? y = (7 * x ^ 2 + 12 * y - 5 * x ^ 2 * y ^ 2) 'dy = 0 + 12 - 5 * 2 * x ^ 2 * y = 12 - 10x ^ 2 * y .

Запишіть повний диференціал функції:
dz = (? z /? x) dx + (? z /? y) dy = (14 * x - 10 * x * y ^ 2) dx + (12 - 10x ^ 2 * y).