ЯК знайти направляючі косинуси

Математика - наука складна і точна. Підхід до неї потрібен грамотний і не терпить поспіху. Природно, без абстрактного мислення тут не обійтися. Як і без ручки з папером для візуального спрощення розрахунків.

Інструкція

Відзначте кути за допомогою літер гамма, бета і альфа, які утворені вектором B з напрямком в позитивну сторону осі координат. Косинуси даних кутів слід називати напрямними косинусами вектора B.

У прямокутній декартовій системі координат координати B рівні проекціям вектора на осі координат. Таким чином,
B1 = | B | cos (альфа), B2 = | B | cos (бета), B3 = | B | cos (гамма).

Звідси випливає, що:

cos (альфа) = B1 || B |, cos (бета) = B2 || B |, cos (гамма) = B3 / | B |, де | B | = sqrt (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2).

А це означає, що

cos (альфа) = B1 | sqrt (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2), cos (бета) = B2 | sqrt (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2), cos (гамма) = B3 / sqrt (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2).

Тепер потрібно виділити основну властивість напрямних. Сума квадратів напрямних косинусів вектора завжди буде дорівнює одиниці.

Правда, що cos ^ 2 (альфа) + cos ^ 2 (бета) + cos ^ 2 (гамма) = B1 ^ 2 | (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2) + B2 ^ 2 | (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2) + B3 ^ 2 / (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2) = (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2) | (B1 ^ 2 + B2 ^ 2 + B3 ^ 2) = 1.

Наприклад, дано: вектор B = {1, 3, 5). Необхідно знайти його напрямні косинуси.

Рішення завдання буде наступним: | B | = sqrt (Bx ^ 2 + By ^ 2 + Bz ^ 2) = sqrt (1 + 9 + 25) = sqrt (35) = 5,91.

Відповідь можна записати в такому вигляді: {cos (альфа), cos (бета), cos (гамма)} = {1 / sqrt (35), 3 / sqrt (35), 5 / (35)} = {0,16 -0,5-0,84}.

Ще один спосіб знаходження. Коли ви намагаєтеся знайти направляючі косинусів вектора B, скористайтеся методикою скалярного твори. Нам потрібні кути між вектором B і направляючими векторами декартових координат z, x і c. Їх координати {1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}.

Тепер дізнайтеся скалярний добуток векторів: до оли кут між векторами D, то добуток двох векторів- це число, рівне добутку модулів векторів на cos D. (B, b) = | B || b | cos D. Якщо b = z, то (B, z) = | B || z | cos (альфа) або B1 = | B | cos (альфа). Далі всі дії виконуються аналогічно способу 1, з урахуванням координат x і c.