ЯК знайти похідну першого порядку :: знайдіть похідну першого порядку функуій у = 2х куб

Поняття похідної, що характеризує швидкість зміни функції, є основним у диференціальному численні. Похідної функції f (x) в точці x0, називається такий вираз: lim (x> x0) (f (x) - f (x0)) / (x - x0), тобто межа якого прагне ставлення приросту функції f в цій точці (f (x) - f (x0)) до відповідного приросту аргументу (x - x0).

Інструкція

Щоб знайти похідну першого порядку, користуйтеся наступними правилами диференціювання.

По-перше, на забувайте найпростіші з них - похідна константи дорівнює 0, а похідна змінної дорівнює 1. Наприклад: 5 '= 0, x' = 1. А також пам'ятайте про те, що константу можна виносити з під знака похідної. Наприклад, (3 * 2 ^ x) '= 3 * (2 ^ x)'. Зверніть увагу на ці прості правила. Дуже часто, вирішуючи приклад, можна не врахувати "окремо варту" змінну і не продифференцировать її (наприклад, у прикладі (x * sin x / ln x + x) це остання змінна x).

Наступне правило - похідна суми: (x + y) '= x' + y '. Розгляньте наступний приклад. Нехай необхідно знайти похідну першого порядку (x ^ 3 + sin x) '= (x ^ 3)' + (sin x) '= 3 * x ^ 2 + cos x. У цьому і наступних прикладах після спрощення вихідного вираження користуйтеся таблицею похідних функцій, яку можна знайти, наприклад, у зазначеному додатковому джерелі. Згідно з цією таблицею для наведеного вище прикладу вийшло, що похідна x ^ 3 = 3 * x ^ 2, а похідна функції sin x дорівнює cos x.

Також при знаходженні похідної функції часто використовується правило похідною твори: (x * y) '= x' * y + x * y '. Приклад: (x ^ 3 * sin x) '= (x ^ 3)' * sin x + x ^ 3 * (sin x) '= 3 * x ^ 2 sin x + x ^ 3 * cos x. Далі в цьому прикладі можна винести множник x ^ 2 за дужки: x ^ 2 * (3 * sin x + x * cos x). Вирішіть більш складний приклад: знайдіть похідну виразу (x ^ 2 + x + 1) * cos x. В даному випадку діяти потрібно також, тільки замість першого множника виступає квадратний тричлен, диференційовних за правилом похідної суми. ((X ^ 2 + x + 1) * cos x) '= (x ^ 2 + x + 1)' * cos x + (x ^ 2 + x + 1) * (cos x) '= (2 * x + 1) * cos x + (x ^ 2 + x + 1) * (- sin x).

Якщо необхідно знайти похідну приватного двох функцій, скористайтеся правилом похідної приватного: (x / y) '= (x'y - y'x) / y ^ 2. Приклад: (sin x / e ^ x) = ((sin x) '* e ^ x - (e ^ x)' * sin x) / e ^ (2 * x) = (cos x * e ^ x - e ^ x * sin x) / e ^ (2 * x) = e ^ x * (cos x + sin x) / e ^ (2 * x) = (cos x + sin x) / e ^ x.

Нехай є складна функція, наприклад sin (x ^ 2 + x + 1). Для того, щоб знайти її похідну, необхідно застосувати правило для похідної складної функції: (x (y)) '= (x (y))' * y '. Тобто спочатку береться похідна «зовнішньої функції», і результат множиться на похідну внутрішньої функції. У даній прикладі (sin (x ^ 2 + x + 1)) '= cos (x ^ 2 + x + 1) * (2 * x + 1).