ЯК знайти висоту правильної трикутної піраміди

Піраміда - це об'ємна фігура, кожна з бічних граней якої має форму трикутника. Якщо і в основі теж лежить трикутник, а всі ребра мають однакову довжину, то це - правильна трикутна піраміда. У цій об'ємної фігури чотири грані, тому часто її називають «тетраедром» - від грецького слова «четирехграннік». Перпендикулярний основи відрізок прямої лінії, що проходить через вершину такої фігури, називається висотою піраміди.

Інструкція

Якщо відома площа підстави тетраедра (S) і його обсяг (V), то для обчислення висоти (H) можна задіяти спільну для всіх типів пірамід формулу, що зв'язує ці параметри. Ділите потроєний обсяг на площу основи - отриманий результат і буде заввишки піраміди: H = 3 * V / S.

Якщо площа основи невідома з умов завдання, а дані лише обсяг (V) і довжина ребра (a) багатогранника, то відсутню змінну у формулі з попереднього кроку можна замінити її еквівалентом, вираженим через довжину ребра. Площа правильного трикутника (він, як ви пам'ятаєте, лежить в основі піраміди розглянутого типу) дорівнює одній чверті від твору квадратного кореня з трійки на зведену в квадрат довжину сторони. Підставте цей вираз замість площі основи в формулу з попереднього кроку, і отримаєте такий результат: H = 3 * V * 4 / (a? * V3) = 12 * V / (a? * V3).

Оскільки обсяг тетраедра теж можна виразити через довжину ребра, то з формули обчислення висоти фігури можна взагалі прибрати всі змінні, залишивши лише бік її трикутної грані. Обсяг цієї піраміди обчислюється діленням на 12 твори квадратного кореня з двійки на зведену в куб довжину грані. Підставте цей вираз у формулу з попереднього кроку, і отримаєте в результаті: H = 12 * (a? * V2 / 12) / (a? * V3) = (a? * V2) / (a? * V3) = a * v? =? * A * v6.

Правильну трикутну призму можна вписати в сферу, а знаючи тільки її радіус (R) можна обчислити і висоту тетраедра. Довжина ребра дорівнює учетверенному співвідношенню радіусу і квадратного кореня з шістки. Замініть цим виразом змінну a у формулі з попереднього кроку і отримаєте таке рівність: H =? * V6 * 4 * R / v6 = 4 * r / 3.

Аналогічну формулу можна отримати і знаючи радіус (r) вписаною в тетраедр кола. У цьому випадку довжина ребра дорівнюватиме дванадцяти співвідношенням між радіусом і квадратним коренем із шістки. Підставте цей вираз у формулу з третього кроку: H =? * A * v6 =? * V6 * 12 * R / v6 = 4 * R.