ЯК написати рівняння дотичної

Дотична до кривої - пряма, яка прилягає до цієї кривої в заданій точці, тобто проходить через неї так, що на невеликій ділянці навколо цієї точки можна без особливої втрати точності замінити криву на відрізок дотичної. Якщо ця крива є графіком функції, то дотичну до неї можна побудувати за спеціальним рівняння.

Інструкція

Припустимо, що у вас є графік деякої функції. Через дві точки, що лежать на цьому графіку, можна провести пряму. Така пряма, яка перетинає графік заданої функції у двох точках, називається січною.

Якщо, залишаючи першу точку на місці, поступово рухати в її напрямку другу точку, то січна поступово стане повертатися, прагнучи до якогось визначеного положення. Зрештою, коли дві точки зіллються в одну, січна буде щільно прилягати до вашого графіку в цій єдиній точці. Іншими словами, січна перетвориться на дотичну.

Будь похила (тобто не вертикальна) пряма на координатній площині є графіком рівняння y = kx + b. Січна, через точки (x1, y1) і (x2, y2), повинна, таким чином, відповідати умовам:
kx1 + b = y1, kx2 + b = y2.
Вирішуючи цю систему двох лінійних рівнянь, отримуємо: kx2 - kx1 = y2 - y1. Таким чином, k = (y2 - y1) / (x2 - x1).

Коли відстань між x1 і x2 прагне до нуля, різниці перетворюються на диференціали. Таким чином, в рівнянні дотичній, що проходить через точку (x0, y0) коефіцієнт k буде рівний? Y0 /? X0 = f? (X0), тобто значенню похідної від функції f (x) в точці x0.

Щоб дізнатися коефіцієнт b, підставимо вже обчислене значення k в рівняння f? (X0) * x0 + b = f (x0). Вирішуючи це рівняння щодо b, ми отримаємо, що b = f (x0) - f? (X0) * x0.

Остаточний варіант рівняння дотичної до графіка заданої функції в точці x0, виглядає так:
y = f? (x0) * (x - x0) + f (x0).

Як приклад розглянемо рівняння дотичної до функції f (x) = x ^ 2 у точці x0 = 3. Похідна від x ^ 2 дорівнює 2x. Отже, рівняння дотичної набуває вигляду:
y = 6 * (x - 3) + 9 = 6x - 9.
Правильність цього рівняння легко перевірити. Графік прямої y = 6x - 9 проходить через ту ж точку (3-9), що і початкова парабола. Побудувавши обидва графіка, ви зможете переконатися, що ця пряма дійсно прилягає до параболи в цій точці.

Таким чином, графік функції має дотичну в точці x0 тільки тоді, коли функція має похідну в цій точці. Якщо в точці x0 функція має розривом другого роду, то дотична перетворюється у вертикальну асимптоту. Однак сама лише наявність похідної в точці x0 ще не гарантує неодмінного існування дотичної в цій точці. Наприклад, функція f (x) = | x | в точці x0 = 0 неперервна і диференційовна, але провести дотичну до неї в цій точці неможливо. Стандартна формула в цьому випадку дає рівняння y = 0, але ця пряма не є дотичної до графіка модуля.