? ЯК обчислити невизначений інтеграл

Інтегрування є значно складнішим процесом, ніж диференціювання. Не дарма часом його порівнюють з грою в шахи. Адже для його здійснення недостатньо просто запам'ятати таблицю - необхідно підходити до вирішення завдання творчо.

Інструкція

Чітко засвойте, що інтегрування - процес, зворотний диференціювання. У більшості підручників функція, що отримується в результаті інтегрування, позначається як F (x) і носить назву первісної. Похідна первообразной дорівнює F '(x) = f (x). Наприклад, якщо в задачі дана функція f (x) = 2x, процес інтегрування виглядає наступним чином:
?2x = x ^ 2 + C, де C = const, за умови, що F '(x) = f (x)
Процес інтегрування функції можна записати й іншим чином:
?f (x) = F (x) + C

Обов'язково запам'ятайте такі властивості інтегралів:
1. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів:
?[F (x) + z (x)] =? F (x) +? Z (x)
Для доказу цієї властивості візьміть похідні від лівої і правої частини інтеграла, після чого використовуйте аналогічне властивість суми похідних, пройдена вами раніше.
2. Постійний множник виноситься за знак інтеграла:
?AF (x) = A? F (x), де A = const.

Прості інтеграли обчислюються з використанням спеціальної таблиці. Однак, найчастіше в умовах задач зустрічаються складні інтеграли, для вирішення яких знання таблиці недостатньо. Доводиться вдаватися до використання ряду додаткових методів. Перший з них полягає в інтегруванні функції шляхом її підведення під знак диференціала:
?f (d (x) z '(x) dx =? f (u) d (u)
Під u мається на увазі складна функція, яка і перетворюється в просту.

Існує також кілька більш складний метод, який зазвичай застосовується у випадку, якщо необхідно проінтегрувати складну тригонометричну функцію. Він полягає в інтегруванні частинами. Виглядає це таким чином:
?udv = uv-? vdu
Уявіть собі, наприклад, що дан інтеграл? X * sinx dx. Позначте х як u, а dv - як sinxdx. Відповідно, v = -cosx, а du = 1 Підставляючи ці значення в вищевказану формулу, отримаєте такий вираз:
?x * sinxdx = -x * cosx -? (- cosx) = sinx-x * cosx + C, де С = const.

Ще один метод полягає в заміні змінної. Він застосовується в тому випадку, якщо під знаком інтеграла є вираження зі ступенями або корінням. Формула заміни змінної зазвичай має наступний вигляд:
[? F (x) dx] =? F [z (t)] z '(t) dt, причому, t = z (t)