ЯК знайти невизначені інтеграли :: Наука

Інтегрування та диференціювання - основи математичного аналізу. У інтегруванні, в свою чергу, головну роль відіграють поняття визначеного та невизначеного інтеграла. Знання, що таке невизначений інтеграл, і вміння правильно його знаходити необхідні кожному, що вивчає вищу математику.

Інструкція

Поняття невизначеного інтеграла виводиться з поняття первісної функції. Функція F (x) називається первісною для функції f (x), якщо на всій області її визначення F? (X) = f (x).

У будь-якої функції з одним аргументом може бути не більше однієї похідної. Однак з первісних це не так. Якщо функція F (x) є первісною для f (x), то функція F (x) + C, де C - будь-яка ненульова константа, теж буде для неї первісної.

Дійсно, за правилом диференціювання (F (x) + C)? = F? (X) + C? = F (x) + 0 = f (x). Таким чином, будь-яка первісна для f (x) виглядає як F (x) + C. Цей вираз називається невизначеним інтегралом функції f (x) і позначається? F (x) dx.

Якщо функція виражається через елементарні функції, то її похідна теж завжди виражається через елементарні функції. Однак для первісних це також невірно. Цілий ряд простих функцій, таких як sin (x ^ 2), мають невизначені інтеграли, що не виражаються через елементарні функції. Інтегрувати їх можна тільки наближено, чисельними методами, однак такі функції відіграють важливу роль в деяких областях математичного аналізу.

Найпростіші формули для невизначених інтегралів виводяться з правил диференціювання. Наприклад,? (X ^ 2) dx = (x ^ 3) / 3, оскільки (x ^ 3)? = 3x ^ 2. Взагалі, для будь-якого n? -1 Вірно, що? (X ^ n) dx = (x ^ (n + 1)) / (n + 1).
При n = -1 цей вираз втрачає сенс, однак функція f (x) = 1 / x, тим не менш, интегрируема. ? (1 / x) dx =? Dx / x = ln | x | + C. Зверніть увагу, що функція ln | x |, на відміну від функції ln (x), визначена на всій дійсній осі, за винятком нуля, точно так само, як і функція 1 / x.

Якщо функції f (x) і g (x) інтегровними, то їх сума також інтегровна, і? (F (x) + g (x) dx =? F (x) dx +? G (x) dx. Якщо функція f (x) інтегрована, то? af (x) dx = a? f (x) dx. Ці правила можна комбінувати.
Наприклад,? (X ^ 2 + 2x + 1) dx = (x ^ 3) / 3 + x ^ 2 + x + C.

Якщо? F (x) dx = F (x), то? F (x + a) dx = F (x + a) + C. Це називається підведенням під знак диференціала постійного доданка. Під знак диференціала можна підвести і постійний множник:? F (ax) dx = F (ax) / a + C. Комбінуючи ці два прийоми, отримаємо:? F (ax + b) dx = F (ax + b) / a + C. Наприклад, якщо f (x) = sin (2x + 3), то? f (x) dx = -cos (2x + 3) / 2 + C.

Якщо інтегруються функцію можна представити у вигляді f (g (x)) * g? (X), наприклад, sin ^ 2 (x) * 2x, то ця функція інтегрується методом заміни змінної:? F (g (x)) * g ? (x) dx =? f (g (x)) dg (x) = F (g (x)) + C. Ця формула виводиться з формули похідної складної функції: f (g (x))? = F? (G (x)) * g? (X).

Якщо інтегруються функцію можна представити у вигляді u (x) * v? (X), то? U (x) * v? (X) dx = uv -? V (x) * u? (X) dx. Це метод інтегрування частинами. Він використовується, коли похідна від u (x) набагато простіше, ніж від v (x).
Наприклад, нехай f (x) = x * sin (x). Тут u (x) = x, v? (X) = sin (x), отже, v (x) = -cos (x), а u? (X) = 1. Тоді? F (x) dx = - x * cos (x) -? (- cos (x)) dx = sin (x) - x * cos (x) + C.