МЕЖІ: як їх порахувати

Значення будь-якого виразу прагне до якогось межі, величина якого є постійною. Завдання на межі вельми часто зустрічаються в курсі математичного аналізу. Їх рішення вимагає наявності низки специфічних знань і навичок.

Інструкція

Межею називається деяке число, до якого прагне змінна змінна або значення виразу. Зазвичай змінні або функції прагнуть або до нуля, або до нескінченності. При межі, рівному нулю, величина вважається нескінченно малою. Іншими словами, нескінченно малими називаються величини, які змінні і наближаються до нуля. Якщо межа прямує до нескінченності, то його називають нескінченним межею. Зазвичай він записується у вигляді:
lim x = + ?.

У меж є ряд властивостей, деякі з яких представляють собою аксіоми. Нижче представлені основні з них.
- одна величина має тільки один предел-

- межа постійної величини дорівнює величині цієї постоянной-

- межа суми дорівнює сумі меж: lim (x + y) = lim x + lim y-

- межа твори дорівнює добутку меж: lim (xy) = lim x * lim y

- постійний множник може бути винесений за знак межі: lim (Cx) = C * lim x, де C = const-

- межа приватного дорівнює приватному меж: lim (x / y) = lim x / lim y.

У завданнях з межами зустрічаються як числові вирази, так і похідні цих виразів. Це може виглядати, зокрема, таким чином:
lim xn = a (при n>?).
Нижче представлений приклад нескладного межі:
lim 3n +1 / n + 1

n> ?.
Для вирішення цієї межі поділіть всі вираз на n одиниць. Відомо, що якщо одиниця ділиться на деяку величину n> ?, то межа 1 / n дорівнює нулю. Справедливо і зворотне: якщо n> 0, то 1/0 = ?. Поділивши весь приклад на n, запишіть його в представленому нижче вигляді і отримаєте відповідь:
lim 3 + 1 / n / 1 + 1 / n = 3

n> ?.

При вирішенні завдань на межі можуть виникати результати, які називаються невизначеностями. У таких випадках застосовують правила Лопіталя. Для цього роблять повторне диференціювання функції, яке призведе приклад в таку форму, в якій його можна було вирішити. Існують два типи невизначеностей: 0/0 і? / ?. Приклад c невизначеністю може виглядати, зокрема, наступним звертаючись:
lim 1-cosx / 4x ^ 2 = (0/0) = lim sinx / 8x = (0/0) = lim cosx / 8 = 1/8

x> 0.

Другим видом невизначеності вважається невизначеність виду? / ?. Вона часто зустрічається, наприклад, при вирішенні логарифмів. Нижче показаний приклад межі логарифма:
lim lnx / sinx = (? /?) = lim1 / x / cosx = 0

x>?.