Як взяти інтеграл

Для простоти опису даного питання слід ввести наступне позначення (див. Рис. 1). Розгляньте обчислення інтегралів int (R (x) dx), де R (x) - раціональна функція або раціональна дріб, яка являє собою відношення двох многочленів: R (x) = Pm (x) / Qn (x) = (b0x ^ m + b1x ^ (m-1) + ... + b (m-1) x + bm) / (a0x ^ m + a1x ^ (m-1) + ... + a (n-1) x + an), де Рm (х) і Qn (х) - многочлени з дійсними коефіцієнтами. Якщо m

Тепер слід розглянути інтегрування правильних дробів. Серед них виділяють найпростіші дроби наступних чотирьох типів: 1. A / (xa) - 2. A / ((xb) ^ k), k = 1,2,3, ... - 3. (Ax + B) / (x ^ 2 + 2px + q), qp ^ 2> 0- 4. (Cx + D) / ((x ^ 2 + 2mx + n)) ^ s, де nm ^ 2> 0, s = 1,2,3, .... Многочлен x ^ 2 + 2px + q не має речових коренів, так як qp ^ 2> 0. Аналогічна ситуація і в пункті 4.

Розгляньте інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від дробів перший і друге типів обчислюються безпосередньо: int (A / (xa)) dx = A / ln | xa | + C- int (A / ((xb) ^ k) dx = - (1 / (k-1)) A / ((xb) ^ (k-1) + C, C = const.Вичісленіе інтеграла від дробу 3-ого типу доцільніше проводити на конкретних прикладах хоча б через те, що це простіше. Дроби четвертого типу в даній статті не розглядаються.

Будь правильна раціональна дріб може бути представлена у вигляді суми кінцевого числа найпростіших дробів (при цьому мається на увазі, що многочлен Qn (x) розкладений на витвір лінійних і квадратичних множників) .Um (x) / Qn (x) = A / (xa) + A1 / (xb) + A2 / (xb) ^ 2 + ... + Ak / (xb) ^ k + ... + (Mx + N) / (x ^ 2 + 2px + q) + + (M1x + N1) / ( x ^ 2 + 2mx + n) + ... + (Mrx + Nr) / (x ^ 2 + 2mx + n) ^ r.Напрімер, якщо в розкладанні твори Qn (x) з'явилося (xb) ^ 3, то в суму найпростіших дробів це внесе трійку доданків A1 / (xb) + A2 / (xb) ^ 2 + A3 / (xb) ^ 3.Дальнейшіе дії полягають у поверненні до суми дробів, тобто у приведенні до спільного знаменника. При цьому дріб зліва володіє «істинним» числителем, а праворуч - числителем з невизначеними коефіцієнтами. Так як знаменники однакові, то слід прирівняти один до одного числители. При цьому в першу чергу необхідно скористатися тим правилом, що многочлени рівні один одному, якщо рівні їх коефіцієнти при однакових ступенях. Таке рішення завжди дасть позитивний результат. Його можна скоротити, якщо ще до приведення подібних в многочлене з невизначеними коефіцієнтами зуміти «засікти» нулі деяких доданків.

Приклад. Знайти int ((x / (1-x ^ 4)) dx) .Разложіте знаменник дробу у твір. 1-x ^ 4 = (1-x) (1 + x) (x ^ 2 + 1). (X ^ 2) / (1-x ^ 4) = A / (1-x) + B / (x + 1) + (Cx + D) / (x ^ 2 + 1) .Пріведіте суму до спільного знаменника і прирівняти чисельники дробів в обох частинах равенства.х = A (x + 1) (x ^ 2 + 1) + B (1-x) (x ^ 2 + 1) + (Cx + D) (1-x ^ 2) Зауважте, чтопрі х = 1: 1 = 4А, А = 1 / 4.При х = - 1: -1 = 4В, В = -1 / 4.Коеффіціент при x ^ 3: ABC = 0, звідки С = 1 / 2.Коеффіціент при x ^ 2: A + BD = 0 і D = 0. x / (1-x ^ 4) = - (1/4) (1 / (x + 1)) - (1/4) / (x-1) + (1/2)(х/(x^2+1)).int(x/(1-x^4))dx)=-(1/4)int((1/(x+1))dx)-(1/4)int((1/(x-1))dx)+(1/4)int((1/(x^2+1))d(x^2+1)==-(1/4)ln|x+1|- (1/4) ln | x-1 | + (1/4) ln (x ^ 2 + 1) + C = (1/4) ln | (x ^ 2 + 1) / (x ^ 2-1) | + C.