ЯК розкласти квадратне рівняння :: розкласти квадратне нерівність

Квадратним рівнянням називають рівняння виду A · x? + B · x + C. Таке рівняння може мати два кореня, один корінь, або не мати коренів зовсім. Щоб розкласти квадратне рівняння на множники, використовують наслідок з теореми Безу або просто користуються готової формулою.

Інструкція

Теорема Безу говорить: якщо многочлен P (x) розділити на двочлен (xa), де a - деяке число, то залишком від такого поділу буде P (a) - чисельний результат підстановки числа a у вихідний многочлен P (x).

Коренем многочлена називається таке число, при підстановці якого в многочлен виходить нуль. Отже, якщо a є коренем многочлена P (x), то P (x) ділиться на двочлен (xa) без залишку, тому P (a) = 0. А якщо многочлен ділиться на (xa) без залишку, то його можна розкласти на множники у вигляді:

P (x) = k · (xa), де k - деякий коефіцієнт.

Якщо знайти два корені квадратного рівняння - x1 і x2, то воно розкладеться по них як:

A · x? + B · x + C = A · (x-x1) · (x-x2).

Для пошуку коренів квадратного рівняння важливо пам'ятати універсальну формулу:

x (1,2) = [-B +/- v (B ^ 2 - 4 · A · C)] / 2 · A.

Якщо вираз (B ^ 2 - 4 · A · C), зване дискримінантом, більше нуля, то многочлен має два різних кореня - x1 і x2. Якщо дискримінант (B ^ 2 - 4 · A · C) = 0, то многочлен має один корінь кратності два. По суті, він має ті ж два дійсних корені, але вони збігаються. Тоді многочлен розкладеться так:

A · x? + B · x + C = A · (x-x0) · (x-x0) = A · (x-x0) ^ 2.

Якщо дискримінант менше нуля, тобто многочлен не має дійсних коренів, то розкласти на множники такий многочлен неможливо.

Щоб знайти корені квадратного многочлена, можна використовувати не тільки універсальну формулу, але також і теорему Вієта:

x1 + x2 = -B,
x1 · x2 = C.

Теорема Вієта стверджує, що сума коренів квадратного тричлена дорівнює коефіцієнту при x, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному коефіцієнту.

Знайти корені можна не тільки у квадратного многочлена, а й у біквадратних. Біквадратним многочленом називають многочлен виду A · x ^ 4 + B · x ^ 2 + C. Замініть в заданому многочлене x ^ 2 на y. Тоді ви отримаєте квадратний тричлен, який, знову ж таки, можна розкласти на множники:

A · x ^ 4 + B · x ^ 2 + C = A · y ^ 2 + B · y + C = A · (y-y1) · (y-y2).