ЯК знайти коріння кубічного рівняння

Для вирішення кубічних рівнянь (поліноміальних рівнянь третього ступеня) розроблено декілька методів. Найвідоміші з них засновані на застосуванні формул Вієта і Кардана. Але крім цих способів існує більш простий алгоритм знаходження коренів кубічного рівняння.

Інструкція

Розгляньте кубічне рівняння виду Axsup3- + Bxsup2- + Cx + D = 0, де Ane-0. Знайдіть корінь рівняння методом підбору. Візьміть до уваги, що один з коренів рівняння третього ступеня завжди є дільником вільного члена.

Знайдіть всі подільники коефіцієнта D, тобто всі цілі числа (позитивні і негативні), на які вільний член D ділиться без залишку. Підставте їх по черзі у вихідне рівняння на місце змінної x. Знайдіть те число x1, при якому рівняння звертається у вірне рівність. Воно й буде одним з коренів кубічного рівняння. Всього у кубічного рівняння три кореня (як речові, так і комплексні).

Розділіть многочлен на Axsup3- + Bxsup2- + Cx + D на двочлен (x-x1). В результаті поділу вийде квадратний многочлен axsup2- + bx + c, залишок буде дорівнює нулю.

Прирівняти отриманий многочлен до нуля: axsup2- + bx + c = 0. Знайдіть коріння цього квадратного рівняння за формулами x2 = (- b + radic- (bsup2--4ac)) / (2a), x3 = (- b-radic- (bsup2--4ac)) / (2a). Вони також будуть і корінням вихідного кубічного рівняння.

Розгляньте приклад. Нехай дано рівняння третього ступеня 2xsup3--11xsup2- + 12x + 9 = 0. A = 2ne-0, а вільний член D = 9. Знайдіть всі подільники коефіцієнта D: 1, -1, 3, -3, 9, -9. Підставте ці подільники в рівняння замість невідомого x. Виходить, 2-1sup3--11-1sup2- + 12-1 + 9 = 12ne-0- 2 - (- 1) sup3--11 - (- 1) sup2- + 12 - (- 1) + 9 = - 16ne-0- 2-3sup3--11-3sup2- + 12-3 + 9 = 0. Таким чином, один з коренів даного кубічного рівняння x1 = 3. Тепер розділіть обидві частини вихідного рівняння на двочлен (x-3). У результаті виходить квадратне рівняння: 2xsup2--5x-3 = 0, тобто a = 2, b = -5, c = -3. Знайдіть його коріння: X2 = (5 + radic - ((- 5) sup2--4-2 - (- 3))) / (2-2) = 3, x3 = (5-radic - ((- 5) sup2-- 4-2 - (- 3))) / (2-2) = - 0,5. Таким чином, кубічне рівняння 2xsup3--11xsup2- + 12x + 9 = 0 має дійсні коріння x1 = x2 = 3 і x3 = -0,5.