ЯК знайти межі за правилом Лопіталя

Коротка історична довідка: маркіз Гійом Франсуа Антуан де Лопиталь обожнював математику і був справжнім меценатом для відомих учених. Так Йоганн Бернуллі був його постійним гостем, співрозмовником і навіть співробітником. Існує припущення, що Бернуллі подарував право авторства відомого правила Лопиталю в знак подяки за його послуги. На користь цієї точки зору говорить той факт, що доказ до правила було офіційно опубліковано через 200 років ще одним відомим математиком Коші.

Вам знадобиться

- ручка;
- папір.

Інструкція

Правило Лопіталя полягає в наступному: межа відносини функцій f (x) і g (x), при х прагне до точки а, дорівнює відповідному межі відносини похідних цих функцій. При цьому значення g (a) не дорівнює нулю, як і значення її похідної в цій точці (g '(a)). Крім того межа g '(a) існує. Аналогічне правило діє і при x, що прагне до нескінченності. Таким чином можна записати (див. Рис.1):

Правило Лопіталя дозволяє усувати невизначеності типу нуль ділити на нуль і нескінченність ділити на нескінченність ([0/0], [? /?] Якщо на рівні перших похідних питання ще не вирішено, слід використовувати похідні другого і навіть більшого порядку.

Приклад 1. Знайти межа при х прагне до 0 стосунки sin ^ 2 (3x) / tg (2x) ^ 2.
Тут f (x) = sin ^ 2 (3x), g (x) = tg (2x) ^ 2. f '(x) = 2 • 3sin3xcos3x = 6sin3xcos3x, g' (x) = 4x / cos ^ 2 (2x) ^ 2. lim (f '(x) / g' (x)) = lim (6sin3x / 4x), так як cos (0) = 1. (6sin3x) '= 18cos3x, (4x)' = 4. Отже (див. Рис. 2):

Приклад 2. Знайти межа на нескінченності раціональної дробу (2x ^ 3 + 3x ^ 2 + 1) / (x ^ 3 + 4x ^ 2 + 5x + 7). Шукаємо ставлення перших похідних. Це (6x ^ 2 + 6x) / (3x ^ 2 + 8x + 5). Для других похідних (12x + 6) / (6x + 8). Для третіх 12/6 = 2 (див. Рис.3).

Решта невизначеності, на перший погляд, не підлягають розкриттю за допомогою правила Лопіталя, тому не містять відносини функцій. Однак деякі гранично прості алгебраїчні перетворення можуть допомогти усунути їх. Насамперед можна нуль помножити на нескінченність [0 •?]. Будь-яку функцію q (x)> 0 при х> а можна переписати у вигляді
q (x) = 1 / (1 / q (x)) і тут (1 / q (x))> ?.

Приклад 3.
Знайти межа (див. Рис.4)
В даному випадку є невизначеність нуль помножити на нескінченність. Перетворивши це вираз отримаєте: xlnx = lnx / (1 / x), тобто співвідношення виду [? -?]. Застосувавши правило Лопіталя, отримаєте ставлення похідних (1 / x) / (- 1 / x2) = - х. Так як х прагне до нуля,, рішення межі буде відповідь: 0.

Невизначеність виду [? -?], Розкривається, якщо мається на увазі різниця будь-яких дробів. Привівши цю різницю до спільного знаменника, отримаєте деяке відношення функцій.

Невизначеності типу 0 ^ ?, 1 ^ ?,? ^ 0 виникають при обчисленні меж функцій типу p (x) ^ q (x). У цьому випадку застосовують попереднє диференціювання. Тоді логарифм шуканого межі А прийме вид твору, можливо, що з готовим знаменником. Якщо ні, то можна використовувати методику прикладу 3. Головне не забути записати остаточну відповідь у вигляді е ^ А (див. Рис.5).