ЯК обчислити межа послідовності

Якщо змінна, послідовність або функція має нескінченну кількість значень, які змінюються по деякому закону, вона може прагнути до пропределенія числу, яке і є межею послідовності. Обчислювати межі можна різними способами.

Вам знадобиться

- поняття числової послідовності і функції-
- вміння брати проізводние-
- вміння перетворювати і скорочувати вираженія-
- калькулятор.

Інструкція

Щоб обчислити межа, підставте в його вираз граничне значення аргументу. Спробуйте провести обчислення. Якщо це можливо, то значення виразу з підставленим значенням і є шукане число. Приклад: Знайдіть значення межі послідовності із загальним членом (3 • x? -2) / (2 • x? +7), якщо x> 3. Проведіть підстановку межі в вираз послідовності (3 • 3? -2) / (2 • 3? +7) = (27-2) / (18 + 7) = 1.

Якщо при спробі підстановки є невизначеність, виберіть спосіб, яким її можна усунути. Це можна зробити, перетворивши вирази, в яких записується послідовність. Зробивши скорочення, отримаєте результат. Приклад: Послідовність (x + vx) / (x-vx), коли x> 0. При прямій підстановці виходить невизначеність 0/0. Позбавтеся від неї, винісши з чисельника і знаменника загальний множник. В даному випадку це буде vx. Отримайте (vx • (vx + 1)) / (vx • (vx-1)) = (vx + 1) / (vx-1). Тепер поле підстановки отримаєте 1 / (- 1) = - 1.

Коли при невизначеності дріб неможливо скоротити (особливо, якщо послідовність містить ірраціональні вирази) помножте її чисельник і знаменник на відмінюванні вираз, для того, щоб прибрати ірраціональність з знаменника. Приклад: Послідовність x / (v (x + 1) -1). Значення змінної x> 0. Помножте чисельник і знаменник на відмінюванні вираз (v (x + 1) +1). Отримайте (x • (v (x + 1) +1)) / ((v (x + 1) -1) • (v (x + 1) +1)) = (x • (v (x + 1) +1)) / (x + 1-1) = (x • (v (x + 1) +1)) / x = v (x + 1) +1. Зробивши підстановку, отримаєте = v (0 + 1) + 1 = 1 + 1 = 2.

При невизначеності типу 0/0 або? /? використовуйте правило Лопіталя. Для цього чисельник і знаменник послідовності уявіть як функції, візьміть з них похідні. Межа їх відносин буде дорівнює межі відносин самих функцій. Приклад: Знайти межа послідовності ln (x) / vx, при x>?. Пряма підстановка дає невизначеність? / ?. Візьміть похідні з чисельника і знаменника і отримаєте (1 / x) / (1/2 • vx) = 2 / vx = 0.

Для розкриття невизначеностей користуйтеся першим чудовим межею sin (x) / x = 1 при x> 0, або другим чудовим межею (1 + 1 / x) ^ x = exp при x> ?. Приклад: Знайти межа послідовності sin (5 • x) / (3 • x) при x> 0. Перетворіть вираз sin (5 • x) / (3/5 • 5 • x) винесіть множник з знаменника 5/3 • (sin (5 • x) / (5 • x)) використовуючи перший чудовий межа отримаєте 5/3 • 1 = 5/3.

Приклад: Знайти межа (1 + 1 / (5 • x)) ^ (6 • x) при x> ?. Помножте і поділіть показник ступеня на 5 • x. Отримайте вираз ((1 + 1 / (5 • x)) ^ (5 • x)) ^ (6 • x) / (5 • x). Застосувавши правило другого чудового межі, отримаєте exp ^ (6 • x) / (5 • x) = exp.