ЯК досліджувати функцію і побудувати її графік :: побудувати графік функції окружності

Дослідження функцій - важлива частина математичного аналізу. Хоча обчислення меж і побудова графіків можуть здатися складною роботою, вони, тим не менш, допомагають вирішити безліч важливих математичних задач. Дослідження функцій найкраще проводити за розробленою і перевіреною методикою.

Інструкція

Знайдіть область визначення функції. Наприклад, функція sin (x) визначена на всьому інтервалі від -? до + ?, а функція 1 / x - на інтервалі від -? до +? за винятком точки x = 0.

Визначте області безперервності і точки розриву. Зазвичай функція неперервна в тій же самій області, де вона визначена. Щоб виявити розриви, потрібно обчислити межі функції при наближенні аргументу до ізольованим точкам всередині області визначення. Наприклад, функція 1 / x прямує до нескінченності, коли x> 0 +, і до мінус нескінченності, коли x> 0-. Це означає, що в точці x = 0 вона має розрив другого роду.
Якщо межі в точці розриву кінцеві, але не рівні, то це розрив першого роду. Якщо ж вони рівні, то функція вважається безперервною, хоча в ізольованій точці вона і не визначена.

Знайдіть вертикальні асимптоти, якщо вони є. Тут вам допоможуть обчислення попереднього кроку, оскільки вертикальна асимптота практично завжди знаходиться в точці розриву другого роду. Однак іноді з області визначення бувають виключені не окремі точки, а цілі інтервали точок, і тоді вертикальні асимптоти можуть розташовуватися на краях цих інтервалів.

Перевірте, чи володіє функція особливими властивостями: парністю, непарні і періодичністю.
Функція буде парної, якщо для будь-якого x в галузі визначення f (x) = f (-x). Наприклад, cos (x) і x ^ 2 - парні функції.

Непарність функції означає, що для будь-якого x в галузі визначення f (x) = -f (-x). Наприклад, sin (x) і x ^ 3 - непарні функції.

Періодичність - властивість, яке говорить про те, що є якесь число T, зване періодом, таке, що для будь-якого xf (x) = f (x + T). Наприклад, всі основні тригонометричні функції (синус, косинус, тангенс) - періодичні.

Знайдіть точки екстремуму. Для цього обчисліть похідну від заданої функції і знайдіть ті значення x, де вона звертається в нуль. Наприклад, функція f (x) = x ^ 3 + 9x ^ 2 -15 має похідну g (x) = 3x ^ 2 + 18x, яка звертається в нуль при x = 0 і x = -6.

Щоб визначити, які точки екстремуму є максимумами, а які мінімумами, відстежите зміна знаків похідної в знайдених нулях. g (x) змінює знак з плюса на мінус в точці x = -6, а в точці x = 0 назад з мінуса на плюс. Отже, функція f (x) в першій точці має максимум, а в другій - мінімум.

Таким чином, ви знайшли та області монотонності: f (x) монотонно зростає на проміжку -? - 6, монотонно убуває на -6-0 і знову зростає на 0- + ?.

Знайдіть другу похідну. Її коріння покажуть, де графік заданої функції буде опуклим, а де - увігнутим. Наприклад, другий похідною від функції f (x) буде h (x) = 6x + 18. Вона звертається в нуль при x = -3, змінюючи при цьому знак з мінуса на плюс. Отже, графік f (x) до цієї точки буде опуклим, після неї - увігнутим, а сама ця точка буде точкою перегину.

У функції можуть бути й інші асимптоти, крім вертикальних, але тільки в тому випадку, якщо в її область визначення входить нескінченність. Щоб їх знайти, обчисліть межа f (x), коли x>? або x> - ?. Якщо він кінцевий, то ви знайшли горизонтальну асимптоту.

Похила асимптота - пряма виду kx + b. Щоб знайти k, обчисліть межа f (x) / x при x> ?. Щоб знайти b - межа (f (x) - kx) при тому ж x> ?.

Побудуйте графік функції за обчисленими даними. Позначте асимптоти, якщо вони є. Відзначте точки екстремуму і значення функції в них. Для більшої точності графіка обчисліть значення функції ще в кількох проміжних точках. Дослідження завершене.