ЯК знайти асимптоти графіка функції

Асимптоти - це прямі, до яких необмежено наближається крива графіка функції при прагненні аргументу функції до нескінченності. Перш ніж приступити до побудови графіка функції, потрібно знайти всі вертикальні і похилі (горизонтальні) асимптоти, якщо вони існують.

Інструкція

Знайдіть вертикальні асимптоти. Нехай дана функція y = f (x). Знайдіть її область визначення та виділіть всі точки a, в яких ця функція не визначена. Підрахуйте межі lim (f (x)), коли x прагне до a, к (a + 0) або до (a-0). Якщо хоча б один такий межа дорівнює + infin- (або -infin-), то вертикальної асимптотой графіка функції f (x) буде пряма x = a. Обчисливши два односторонніх межі, ви визначите як себе веде функція при наближенні до асимптоти з різних сторін.

Вивчіть кілька прикладів. Нехай функція y = 1 / (xsup2--1). Підрахуйте межі lim (1 / (xsup2--1)), коли x прагне до (1 ± 0), (-1 ± 0). Функція має вертикальні асимптоти x = 1 і x = -1, так як ці межі дорівнюють + infin-. Нехай дана функція y = cos (1 / x). У цієї функції немає вертикальної асимптоти x = 0, так як область зміни функції косинус відрізок [-1- +1] і її межа ніколи не буде дорівнює ± infin- при будь-яких значеннях x.

Знайдіть тепер похилі асимптоти. Для цього підрахуйте межі k = lim (f (x) / x) і b = lim (f (x) -kx) при x, що прагне до + infin- (або -infin-). Якщо вони існують, то похила асимптота графіка функції f (x) буде задана рівнянням прямої y = k-x + b. Якщо k = 0, пряма y = b називається горизонтальною асимптотой.

Розгляньте для найкращого розуміння наступний приклад. Нехай дана функція y = 2-x- (1 / x). Підрахуйте межа lim (2-x- (1 / x)) при x, що прагне до 0. Цей межа дорівнює infin-. Тобто вертикальної асимптотой функції y = 2-x- (1 / x) буде пряма x = 0. Знайдіть коефіцієнти рівняння похилій асимптоти. Для цього підрахуйте межа k = lim ((2-x- (1 / x)) / x) = lim (2- (1 / xsup2-)) при x, що прагнуть до + infin-, тобто виходить k = 2. І тепер підрахуйте межа b = lim (2-x- (1 / x) -kx) = lim (2-x- (1 / x) -2-x) = lim (-1 / x) при x, що прагнуть до + infin-, тобто b = 0. Таким чином, похила асимптота даної функції задана рівнянням y = 2-x.

Зверніть увагу, що асимптота може перетинати криву. Наприклад, для функції y = x + e ^ (- x / 3) -sin (x) межа lim (x + e ^ (- x / 3) -sin (x)) = 1 при x, що прагнуть до infin-, а lim (x + e ^ (- x / 3) -sin (x) -x) = 0 при x, що прагнуть до infin-. Тобто асимптотой буде пряма y = x. Вона перетинає графік функції в декількох точках, наприклад, в точці x = 0.