ЯК знаходити асимптоти

Асимптотой графіка функції у = f (x) називається пряма, графік якої необмежено прибл-жается до графіка функції при необмеженій видаленні довільної точки M (x, y), що належить f (x) на нескінченність (позитивну чи негативну), ніколи не перетинаючи графік функції. Видалення точки на нескінченність увазі під собою і випадок, коли до нескінченності прагне тільки ордината або абсциса у = f (x). Розрізняють вертикальні, горизонтальні та похилі асимптоти.

Вам знадобиться

- папір;
- ручка;
- лінійка.

Інструкція

На практиці вертикальні асимптоти відшукуються зовсім просто. Це точки нулів знаменника функції f (x).
Вертикальна асимптота - це вертикальна пряма. Її рівняння x = a. Тобто при х прагне до a (праворуч або ліворуч), функція прямує до нескінченності (позитивної або негативної).

рис.1 Вертикальна і горизонтальні асимптоти

Горизонтальна асимптота - це горизонтальна пряма y = A, до якої графік функції необмежено наближається при прагненні х до нескінченності (позитивної чи негативно) (див. Рис.1), тобто

Похилі асимптоти знаходять трохи більш складно. Визначення їх залишається колишнім, але задаються вони рівнянням прямої лінії y = kx + b. Відстань від асимптоти до графіка функції тут, відповідно до малюнком 1 складає | MP |. Очевидно, що якщо | MP | прагне до нуля, то до нуля прагне і довжина відрізка | MN |. Точка М - ордината асимптоти, N - функції f (x). Абсциса у них спільна.
Відстань | MN | = f (xM) - (kxM + b) або просто f (x) - (kx + b), де k - тангенс кута нахилу пряної (асимптоти) до осі абсцис. f (x) - (kx + b) прагне до нуля, тому k можна знайти як межа відносини (f (x) - b) / х, при х прагне до нескінченності (див. рис.2).

Після знаходження k, слід визначити b, обчисливши межа різниці f (x) - KХ, при х прагнуть до нескінченності (див. Рис.3).
Далі вам необхідно побудувати графік асимптоти, також як і прямий y = kx + b.

Приклад. Знайти асимптоти графіка функції y = (x ^ 2 + 2x-1) / (x-1).
1. Очевидна вертикальна асимптота x = 1 (як нуль знаменника).
2. y / x = (x ^ 2 + 2x-1) / (x-1) x = (x ^ 2 + 2x-1) / (x ^ 2-x). Тому, обчисливши межа
на нескінченності від останньої раціональної дробу, получіттся k = 1.
f (x) -kx = (x ^ 2 + 2x-1) / (x-1) - x = (x ^ 2 + 2x-1-x ^ 2 + x) / (x-1) = 3x / ( x-1) - 1 / (x-1).
Таким чином, ви отримаєте b = 3. . вихідне рівняння похилій асимптоти буде мати вигляд: y = x + 3 (див. рис.4).