ЯК визначити відповідність низки :: як підрахувати збіжність результатів

Числовим рядом називають суму членів нескінченної послідовності. Частковими сумами ряду називають суму перших n членів ряду. Ряд буде збіжним, якщо сходиться послідовність його часткових сум.

Вам знадобиться

Уміння обчислювати межі послідовностей.

Інструкція

Визначте формулу загального члена ряду. Нехай дано ряд x1 + x2 + ... + xn + ..., його загальний член має вигляд xn. Скористайтеся ознакою Коші визначення збіжності ряду. Порахуйте межа lim ((xn) ^ (1 / n)) при n прагне до infin-. Нехай він існує і дорівнює L, тоді якщо L<1, то ряд сходится, если L>1, то ряд розходиться, а якщо L = 1, то необхідно додатково досліджувати ряд на збіжність.

Розгляньте приклади. Нехай дано ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., загальний член ряду представляється у вигляді 1 / (2 ^ n). Знайдіть межа lim ((1 / (2 ^ n) ^ (1 / n)) при n прагне до infin-. Цей межа дорівнює 1/2<1 и, следовательно, ряд 1/2+1/4+1/8+… сходится. Или, например, пусть имеется ряд 1+16/9+216/64+…. Представьте общий член ряду у вигляді формули (2-n / (n + 1)) ^ n. Порахуйте межа lim (((2-n / (n + 1)) ^ n) ^ (1 / n)) = lim (2-n / (n + 1)) при n прагне до infin-. Межа дорівнює 2> 1, тобто даний ряд розходиться.

Визначте збіжність ряду за ознакою Даламбера. Для цього порахуйте межа lim ((xn + 1) / xn) при n прагне до infin-. Якщо ця межа існує і дорівнює M<1, то ряд сходится, если M>1, то ряд розходиться. Якщо M = 1, то ряд може бути сходяться і розходяться.

Вивчіть кілька прикладів. Нехай дано ряд Sigma- (2 ^ n / n!). Порахуйте межа lim ((2 ^ (n + 1) / (n + 1)!) - (N! / 2 ^ n)) = lim (2 / (n + 1)) при n прагне до infin-. Він дорівнює 0<1 и данный ряд является сходящимся. Пусть теперь дан ряд &Sigma-n!-(6/n)^n. Вычислите предел lim((n+1)!-6^(n+1)-n^n)/((n+1)^(n+1)-n!-6^n)=lim (6/(1+1/n)^n)=6/e>1 і значить даний ряд розходиться.

Скористайтеся ознакою Лейбніца для Знакозмінні ряду за умови, що xn> x (n + 1). Порахуйте межа lim (xn) при n прагне до infin-. Якщо ця межа дорівнює 0, то ряд сходиться, його сума позитивна і не перевершує першого члена ряду. Наприклад, нехай дано ряд 1-1 / 2 + 1 / 3-1 / 4 + .... Зауважте, що 1> 1/2> 1/3> ...> 1 / n> .... Загальний член ряду буде 1 / n. Порахуйте межа lim (1 / n) при n прагне до infin-. Він дорівнює 0 і, отже, ряд сходиться.