ЯК порахувати межа :: Математика

Межею функції f (x) при x, що прагне до деякого числа a, називається таке число b, коли для кожного позитивного числа? можна вказати позитивне число?, що задовольняє умові: якщо | x - a | < ?, то |f(x) - b| < ?. Задача вычисления предела часто встречается в математическом анализе.

Інструкція

Межа функції f (x) в точці a будемо позначати lim (f (x)), x> a.

Для будь-якої функції, безперервної в точці a, lim (f (x)), x> a = f (a).

Межа суми функцій при x> a дорівнює сумі меж цих функцій при x> a, тобто lim (f (x) + g (x)), x> a = lim (f (x)), x> a + lim ( g (x)), x> a.Напрімер, lim (3x ^ 2 + 8x), x> 2 дорівнює lim (3x ^ 2), x> 2 + lim (8x), x> 2 = 12 + 16 = 28 .

Межа твори функцій при x> a дорівнює добутку меж цих функцій при x> a, тобто lim (f (x) * g (x)), x> a = (lim (f (x)), x> a) * (lim (g (x)), x> a) .Наприклад, lim (sin (x) * cos (x)), x> 0 дорівнює (lim (sin (x)), x> 0) * (lim ( cos (x)), x> 0) = 0 * 1 = 0.

Аналогічно, межа частки функцій при x> a дорівнює приватному від розподілу їх меж, але тільки в тому випадку, якщо межа знаменника не дорівнює нулю: lim (f (x) / g (x)), x> a = (lim (f (x)), x> a) / (lim (g (x)), x> a), якщо lim (g (x)), x> a? 0.Напрімер, lim ((5x + 8) / (x - 2)), x> 4 дорівнює (lim (5x + 8), x> 4) / (lim (x - 2), x> 4) = 28 / 2 = 14.

Якщо lim (f (x)), x> a = 0 і lim (g (x)), x> a = 0, то, обчислюючи межа приватного цих функцій в точці a, ви стикаєтеся з невизначеністю типу 0/0. Щоб її усунути, потрібно постаратися розкласти чисельник і знаменник на множники і скоротити ті з них, які звертаються в нуль при x = a.Напрімер, нехай потрібно знайти lim ((x ^ 2 - 9) / (x - 3)), x > 3. Спрощуючи дріб, ви отримаєте (x ^ 2 - 9) / (x - 3) = ((x - 3) * (x + 3)) / (x - 3) = x + 3. Отже, шуканий межа дорівнює lim (x + 3), x> 3 = 6.

Якщо lim (f (x)), x> a = ±? і lim (g (x)), x> a = ± ?, то при обчисленні межі приватного цих функцій в точці a вам доведеться усунути невизначеність типу? / ?. Це можна зробити, спростивши вираз, як і в попередньому випадку. Інший спосіб розкриття невизначеності полягає в тому, щоб розділити чисельник і знаменник на x найбільшою мірою, присутньої у виразі, а після цього спробувати обчислити межа згідно з наведеними вище правилами.

Якщо чисельник і знаменник приватного f (x) / g (x) одночасно прагнуть до нуля або нескінченності при x> a, то для розкриття невизначеності можна скористатися правилом Лопіталя. Згідно з цим правилом, межа частки функцій в точці a дорівнює межі приватного їх похідних в тій же точці, тобто lim (f (x) / g (x)), x> a = lim (f? (X) / g? ( x)), x> a.Напрімер, нехай потрібно обчислити lim (x ^ 2 / (x - 5)), x>?. Диференціюючи обидві функції, ви отримаєте (x ^ 2)? / (X-5)? = 2x / 1 = 2x. Межа цієї функції при x>? дорівнює?.