? ЯК розкласти функцію в ряд

Розкладанням функції в ряд називається її представлення у вигляді межі нескінченної суми: F (z) =? Fn (z), де n = 1 ...?, А функції fn (z) називаються членами функціонального ряду.

Інструкція

По ряду причин для розкладання функцій найбільше підходять статечні ряди, тобто ряди, формула яких має вигляд:

f (z) = c0 + c1 (z - a) + c2 (z - a) ^ 2 + c3 (z - a) ^ 3 + ... + cn (z - a) ^ n + ...

Число a називається в цьому випадку центром ряду. Зокрема, воно може бути дорівнює нулю.

Статечної ряд володіє радіусом збіжності. Радіус збіжності - таке число R, що якщо | z - a | < R, то ряд сходится, при |z - a| > R він розходиться, при | z - a | = R можливі обидва випадки. Зокрема, радіус збіжності може бути рівний нескінченності. У цьому випадку ряд сходиться на всій дійсній осі.

Відомо, що статечної ряд можна почленно диференціювати, причому сума отриманого ряду дорівнює похідною від суми початкового ряду і має той же радіус збіжності.

Грунтуючись на цій теоремі, була виведена формула, звана поруч Тейлора. Якщо функція f (z) може бути розкладена в степеневий ряд c центром a, то цей ряд буде мати вигляд:

f (z) = f (a) + f? (a) * (z - a) + (f ?? (a) / 2!) * (z - a) ^ 2 + ... + (fn (a) / n!) * (z - a) ^ n,

де fn (a) - значення похідної n-го порядку від f (z) в точці a. Позначення n! (Читається "ен факторіал») замінює твір всіх цілих чисел від 1 до n.

Якщо a = 0, то ряд Тейлора перетворюється на свій приватний варіант, званий поруч Маклорена:

f (z) = f (0) + f? (0) * z + (f ?? (0) / 2!) * z ^ 2 + ... + (fn (0) / n!) * z ^ n.

Наприклад, нехай потрібно розкласти в ряд Маклорена функцію e ^ x. Оскільки (e ^ x)? = E ^ x, то всі коефіцієнти fn (0) будуть рівні e ^ 0 = 1. Отже, загальний коефіцієнт потрібного ряду дорівнює 1 / n !, а формула ряду виглядає наступним чином:

e ^ x = 1 + x + (x ^ 2) / 2! + (X ^ 3) / 3! + ... + (X ^ n) / n! + ...

Радіус збіжності цього ряду дорівнює нескінченності, тобто він сходиться при будь-якому значенні x. Зокрема, для x = 1 ця формула перетворюється в відомий вислів для обчислення e.

Розрахунок за цією формулою може бути легко виконаний навіть вручну. Якщо вже відомо n-е доданок, то, щоб знайти (n + 1) -е, досить помножити його на x і розділити на (n + 1).