ЯК знайти область збіжності ряду :: Як розкласти функцію в ряд

Дослідження функцій дуже часто можна полегшити, розклавши їх в числовий ряд. Вивчаючи числові ряди, особливо, якщо ці ряди статечні, важливо вміти визначати і аналізувати їх збіжність.

Інструкція

Нехай заданий числовий ряд U0 + U1 + U2 + U3 + ... + Un + ... =? Un. Un - вираз для загального члена цього ряду.
Підсумовуючи члени ряду від початку до деякого кінцевого n, ви отримуєте проміжні суми ряду.
Якщо в міру зростання n ці суми прагнуть до якоїсь кінцевої величиною, то ряд називають збіжним. Якщо ж вони зростають або убувають нескінченно, то ряд розходиться.

Щоб визначити, чи сходиться заданий ряд, перш за все перевірте, чи прагне його загальний член Un до нуля при нескінченному зростанні n. Якщо ця межа не дорівнює нулю, то ряд розходиться. Якщо ж дорівнює, то ряд, можливо, сходящійся.Напрімер, ряд ступенів двійки: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2 ^ n + ... - розходиться, оскільки його загальний член в межі прагне бесконечності.Гармоніческій ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1 / n + ... розходиться, хоча його загальний член і прагне в межі до нуля. З іншого боку, ряд 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1 / (2 ^ n) + ... сходиться, і межа його суми дорівнює 2.

Припустимо, що нам дано два ряду, загальні члени яких дорівнюють відповідно Un і Vn. Якщо є таке кінцеве N, що починаючи з нього, Un? Vn, то ці ряди можна порівнювати між собою. Якщо нам відомо, що ряд U сходиться, то ряд V теж абсолютно точно сходиться. Якщо ж відомо, що ряд V розходиться, то і ряд U - розходиться.

Якщо всі члени ряду позитивні, то його збіжність можна оцінити за ознакою Даламбера. Знайдіть коефіцієнт p = lim (U (n + 1) / Un) при n>?. Якщо p < 1, то ряд сходится. При p > 1 ряд однозначно розходиться, але якщо p = 1, то потрібне додаткове дослідження.

Якщо знаки членів ряду чергуються, тобто ряд має вигляд U0 - U1 + U2 - ... + ((-1) ^ n) Un + ..., то такий ряд називається знакозмінним або Знакозмінні. Збіжність цього ряду визначається ознакою Лейбніца. Якщо загальний член Un при зростанні n прагне до нуля, і для кожного n Un> U (n + 1), то ряд сходиться.

При аналізі функцій найчастіше доводиться мати справу зі статечними рядуми. Статечної ряд - це функція, задана виразом: f (x) = a0 + a1 * x + a2 * x ^ 2 + a3 * x ^ 3 + ... + an * x ^ n + ... Збіжність такого ряду, природно залежить від значення x. Тому для статечного ряду існує поняття діапазону всіх можливих значень x, при яких ряд сходиться. Цей діапазон дорівнює (-R- R), де R - радіус збіжності. Усередині нього ряд сходиться завжди, за його межами завжди розходиться, на самому кордоні може як сходитися, так і расходіться.R = lim | an / a (n + 1) | при n>? .Таким Чином, для аналізу збіжності статечного ряду достатньо знайти R і перевірити збіжність ряду на межі діапазону, тобто при x = ± R.

Наприклад, нехай вам дано ряд, що представляє собою розкладання в ряд Маклорена функції e ^ x: e ^ x = 1 + x + (x ^ 2) / 2! + (X ^ 3) / 3! + ... + (X ^ n) / n! + ... Ставлення an / a (n + 1) одно (1 / n!) / (1 / (n + 1)!) = (N + 1)! / N! = N + 1. Межа цього відношення при n>? дорівнює?. Отже, R =?, І ряд сходиться на всій дійсній осі.