ЯК знайти похилу асимптоту :: асимптота наити

Асимптота функції - лінія, до якої необмежено наближається графік цієї функції. У широкому сенсі асимптотична лінія може бути і криволінійною, однак найчастіше цим словом позначають прямі лінії.

Інструкція

Якщо задана функція має асимптоти, то вони можуть бути вертикальними або похилими. Існують також горизонтальні асимптоти, що є окремим випадком похилих.

Припустимо, що вам дана функція f (x). Якщо вона не визначена в деякій точці x0 і в міру наближення x до x0 зліва чи справа f (x) прагне до нескінченності, то в цій точці функція має вертикальну асимптоту. Наприклад, в точці x = 0 позбавляються сенсу функції 1 / x і ln (x). Якщо x> 0, то 1 / x>?, А ln (x)> - ?. Отже, обидві функції в цій точці мають вертикальну асимптоту.

Похила асимптота - пряма, до якої необмежено прагне графік функції f (x) у міру того, як x необмежено зростає або спадає. Функція може мати і вертикальні, і похилі асимптоти.

У практичних цілях розрізняють похилі асимптоти при x>? і при x> - ?. У ряді випадків функція може прагнути до однієї і тієї ж асимптоти в обидві сторони, але, взагалі кажучи, вони не зобов'язані збігатися.

Асимптота, як і всяка похила пряма, має рівняння виду y = kx + b, де k і b - константи.

Пряма буде похилій асимптотой функції при x>?, Якщо в міру прагнення x до нескінченності різниця f (x) - (kx + b) прагне до нуля. Аналогічно, якщо ця різниця прагне до нуля при x> - ?, то пряма kx + b буде похилій асимптотой функції в цьому напрямку.

Щоб зрозуміти, чи має задана функція похилу асимптоту, і якщо має - знайти її рівняння, потрібно обчислити константи k і b. Метод обчислення не змінюється від того, в якому напрямку ви шукаєте асимптоту.

Константа k, також звана кутовим коефіцієнтом похилій асимптоти, є межею відносини f (x) / x при x>?.

Наприклад, шлях задана функція f (x) = 1 / x + x. Ставлення f (x) / x буде в цьому випадку дорівнює 1 + 1 / (x ^ 2). Його межа при x>? дорівнює 1. Отже, задана функція має похилу асимптоту з кутовим коефіцієнтом 1.

Якщо коефіцієнт k виходить нульовим, це означає, що похила асимптота заданої функції горизонтальна, і її рівняння y = b.

Щоб знайти константу b, тобто зміщення потрібної нам прямий, знадобиться обчислити межа різниці f (x) - kx. У нашому випадку ця різниця дорівнює (1 / x + x) - x = 1 / x. При x>? межа 1 / x дорівнює нулю. Таким чином, b = 0.

Остаточний висновок полягає в тому, що функція 1 / x + x має похилу асимптоту в напрямку плюс нескінченності, рівняння якої y = x. Тим же способом легко довести, що ця ж пряма є похилою асимптотой заданої функції і в напрямку мінус нескінченності.