? ЯК вписати трикутник в коло

Якщо всі вершини трикутника лежать на одній окружності, то в цьому випадку він називається вписаним, а окружність, відповідно - описаної навколо нього. Побудувати трикутник на відомій окружності дуже просто, але як вписати трикутник в коло, якщо спочатку існує саме він?

Вам знадобиться

- циркуль;
- папір;
- олівець;
- лінійка.

Інструкція

Для будь-якого трикутника завжди можливо побудувати описану окружність, оскільки ця крива однозначно визначається трьома заданими точками.

Щоб це виявити, досить припустити, що трикутник заданий декартовими координатами своїх вершин. У цьому випадку радіус і координати центру кола, що проходить через всі три точки, повинні бути рішеннями системи з трьох рівнянь другого ступеня з трьома невідомими.

Ця система буде мати єдине рішення в тому випадку, якщо задані крапки не лежать на одній прямій (в цьому останньому випадку вона зовсім не має рішень). Але три точки, що лежать на одній прямій, не можуть бути вершинами трикутника, отже, цей випадок можна навіть не розглядати. Отже, рішення свідомо існує.

Щоб трикутник був вписаний в окружність, очевидно, потрібно, щоб її центр знаходився на рівній відстані від усіх трьох його вершин. Завдання, таким чином, зводиться до знаходження центру описаного кола.

Сторона вписаного трикутника буде хордою описаного кола. Для будь-якої такої хорди існує перпендикулярний до неї радіус, причому точка їх перетину ділить хорду рівно навпіл.

Отже, будь-серединний перпендикуляр трикутника (тобто пряма, що проходить через середину його боку і перпендикулярна їй) проходить через центр описаного кола. Досить провести два таких перпендикуляра, і точка їх перетину буде центром. Радіус ж описаного кола однозначно визначається відстанню до будь-якої з вершин.

Процедура розподілу відрізка навпіл циркулем і лінійкою являє собою, по суті, побудова серединного перпендикуляра. Таким чином, завдання знаходження центру описаного кола зводиться до поділу циркулем і лінійкою двох сторін трикутника.

Якщо заданий трикутник - прямокутний, то центр описаного кола збігається з серединою його гіпотенузи.