ЯК вирішувати тотожності

Вирішувати тотожності досить просто. Для цього потрібно здійснювати тотожні перетворення, поки поставлена мета не буде досягнута. Таким чином, за допомогою найпростіших арифметичних дій поставлена задача буде вирішена.

Вам знадобиться

- папір;
- ручка.

Інструкція

Найпростіший приклад таких перетворень - алгебраїчні формули скороченого множення (такі як квадрат суми (різниці), різниця квадратів, сума (різниця) кубів, куб суми (різниці)). Крім того існує безліч логарифмічних і тригонометричних формул, які за своєю суттю є тими ж тотожністю.

Дійсно, квадрат суми двох доданків дорівнює квадрату першого плюс подвоєний добуток першого на друге і плюс квадрат другого, тобто (a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Спростіть вираз (ab) ^ 2 + 4ab. (Ab) ^ 2 + 4ab = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + 4ab = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2. У вищій математичній школі, якщо розібратися, тотожні перетворення - першою з перших. Але там вони вважаються чимось само собою зрозумілим. Мета їх не завжди спрощення виразу, а інший раз і ускладнення, з метою, як уже говорилося, досягнення поставленої мети.

Будь правильна раціональна дріб може бути представлена у вигляді суми кінцевого числа найпростіших дробів
Pm (x) / Qn (x) = A1 / (xa) + A2 / (xa) ^ 2 + ... + Ak / (xa) ^ k + ... + (M1x + N1) / (x ^ 2 + 2px + q) + ... + (M2x + N2) / (x ^ 2 + 2px + q) ^ s.

Приклад. Тотожними перетвореннями розкласти на найпростіші дроби (x ^ 2) / (1-x ^ 4).

Розкладіть вираз 1-х ^ 4 = (1-x) (1 + x) (x ^ 2 + 1). (X ^ 2) / (1-x ^ 4) = A / (1-x) + B / (x + 1) + (Cx + D) / (x ^ 2 + 1)

Наведіть суму до спільного знаменника і прирівняти чисельники дробів в обох частинах рівності.
X ^ 2 = A (x + 1) (x ^ 2 + 1) + B (1-x) (x ^ 2 + 1) + (Cx + D) (1-x ^ 2)

Зауважте, що:

При х = 1: 1 = 4А, А = 1 / 4-
При х = - 1: 1 = 4В, В = 1/4.

Коефіцієнти при x ^ 3: ABC = 0, звідки С = 0
Коефіцієнти при x ^ 2: A + BD = 1 і D = -1 / 2
Отже, (x ^ 2) / (1-x ^ 4) = 1 / (1-x) + 1 / (4 (x + 1)) - 1 / (2 (x ^ 2 + 1)).