ЯК привести рівняння кривої до канонічного виду

Коли ставиться питання про приведення рівняння кривої до канонічного виду то, як правило, маються на увазі криві другого порядку. Плоскої кривої другого порядку називається лінія, описувана рівнянням виду: Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, тут A, B, C, D, E, F - деякі постійні (коефіцієнти), причому A , B, C одночасно не рівні нулю.

Інструкція

Відразу слід застерегти, що приведення до канонічного виду в самому загальному випадку пов'язане з поворотом системи координат, що потребують залучення досить великої кількості додаткових відомостей. Поворот системи координат може знадобитися, якщо коефіцієнт В відмінний від нуля.

Існують три типи кривих другого порядку: еліпс, гіпербола і парабола.
Канонічне рівняння еліпса: (x ^ 2) / (a ^ 2) + (y ^ 2) / (b ^ 2) = 1.
Канонічне рівняння гіперболи: (x ^ 2) / (a ^ 2) - (y ^ 2) / (b ^ 2) = 1. Тут а і b півосі еліпса і гіперболи.
Канонічне рівняння параболи 2px = y ^ 2 (p - просто її параметр).
Процедура приведення до канонічного виду (при коефіцієнті В = 0) гранично проста. Проводяться тотожні перетворення з метою виділення повних квадратів, якщо потрібно - поділ обох частин рівняння на число. Таким чином, рішення зводиться до приведення рівняння до канонічного виду та з'ясуванню типу кривої.

Приклад 1. 9x ^ 2 + 25y ^ 2 = 225.
Перетворіть вираз до виду: (9x ^ 2) / 225) + (25y ^ 2) / 225) = 1,
(9x ^ 2) / (9 * 25) + (25y ^ 2) / (9 * 25) = 1, (x ^ 2) / 25 + (y ^ 2) / 9 = 1, (x ^ 2) / (5 ^ 2) + (y ^ 2) / (3 ^ 2) = 1. Це еліпс з півосями
a = 5, b = 3.
Приклад 2. 16x ^ 2-9y ^ 2-64x-54y-161 = 0
Доповнивши рівняння до квадрата по х і по у і перетворивши його до канонічного виду, отримаєте:
(4 ^ 2) (x ^ 2) -2 * 8 * 4x + 8 ^ 2- (3 ^ 2) (y ^ 2) -2 * 3 * 9y- (9 ^ 2) -161-64 + 81 = 0,
(4x-8) ^ 2- (3y + 9) ^ 2-144 = 0, (4 ^ 2) (x-2) ^ 2- (3 ^ 2) (y + 3) ^ 2 = (4 ^ 2 ) (3 ^ 2).
(X-2) ^ 2 / (3 ^ 2) - (y + 3) ^ 2 / (4 ^ 2) = 1.
Це рівняння гіперболи з центром в точці C (2, -3) і півосями а = 3, b = 4.