ЯК скласти рівняння площини

Площина є одним з основних понять, що пов'язують планиметрию і стереометрию (розділи геометрії). Ця фігура також часто зустрічається в задачах з аналітичної геометрії. Щоб скласти рівняння площини, достатньо мати координати трьох її точок. Для другого основного способу складання рівняння площини необхідно вказати координати однієї точки і напрямок нормального вектора.

Вам знадобиться

- калькулятор.

Інструкція

Якщо відомі координати трьох точок, через які проходить площину, то запишіть рівняння площини у вигляді визначника третього порядку. Нехай (х1, х2, х3), (в1, в2, в3) і (z1, z2, z3) - координати першої, другої і третьої точки відповідно. Тоді рівняння площини, що проходить через ці три точки, виглядає наступним чином:

| X-x1 y-y1 z-z1 |
|x2-x1 y2-y1 z2-z1| = 0
|x3-x1 y3-y1 z3-z1|

Приклад: скласти рівняння площини, що проходить через три точки з координатами: (-1- 4 -1), (-13- 2- -10), (6 0- 12).

Рішення: підставляючи координати точок в вищенаведену формулу, отримаємо:

|x + 1 y-4 z + 1 |
|-12 -2 -9 | = 0
| 7 -4 13 |

В принципі, це і є рівняння шуканої площини. Однак якщо розкласти визначник по першому рядку, то вийде більш просте вираження:

-62 * (х + 1) + 93 * (у-4) + 62 * (z + 1) = 0.

Розділивши обидві частини рівняння на 31 і привівши подібні, отримаємо:

-2х + 3у + 2z-12 = 0.

Відповідь: рівняння площини, що проходить через точки з координатами

(-1- 4 -1), (-13- 2- -10) і (6 0- 12)

-2х + 3у + 2z-12 = 0.

Якщо рівняння площини, що проходить через три точки, потрібно скласти без використання поняття «визначник» (молодші класи, тема - системи лінійних рівнянь), то скористайтеся наступним міркуванням.

Рівняння площини в загальному вигляді має вигляд Ах + ВуСz + D = 0, причому одній площині відповідає безліч рівнянь з пропорційними коефіцієнтами. Для простоти обчислень параметр D зазвичай приймають рівним 1, якщо площина не проходить через початок координат (для площині, що проходить через початок координат, D = 0).

Так як координати точок, що належать площині, повинні задовольняти вищенаведеного рівняння, то в підсумку виходить система з трьох лінійних рівнянь:

-A + 4B-C + 1 = 0
-13A + 2B-10C + 1 = 0
6A + 12C + 1 = 0,

вирішивши яку і позбувшись від дробів, отримаємо вищенаведене рівняння

(-2х + 3у + 2z-12 = 0).

Якщо задані координати однієї точки (х0, у0, z0) і координати вектора нормалі (А, В, С), то щоб скласти рівняння площини, просто запишіть рівняння:

А (х-х0) + В (у-у0) + С (z-z0) = 0.

Після приведення подібних це і буде рівнянням площини.

Якщо потрібно вирішити завдання складання рівняння площини, що проходить через три точки, в загальному вигляді, то розкладіть рівняння площини, записаної через визначник, по першому рядку:
(X-x1) * (у2-y1) * (z3-z1) - (x-x1) * (z2-z1) * (y3-y1) - (y-y1) * (x2-x1) * (z3 -z1) + (y-y1) * (z2-z1) * (x3-x1) + (z-z1) * (x2-x1) * (y3-y1) - (z-z1) * (y2-y1 ) * (x3-x1) = 0.
Хоча цей вислів і більше громіздке, зате в ньому не використовується поняття визначника і воно більш зручно для складання програм.