Як побудувати гіперболоїд

Уявіть, що мається гіпербола і деяка лінія, яка проходить через початок координат. Якщо гіперболу почати обертати навколо цієї осі, виникне порожнисте тіло обертання, яке називається гіперболоїдом. Існує два види гіперболоїдів: однопорожнинний і двуполостной. Однопорожнинний гіперболоїд задається рівнянням виду: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2-z ^ 2 / c ^ 2 = 1Якщо розглядати дану просторову фігуру щодо площин Oxz і Oyz, можна помітити, що основними її перетинами є гіперболи . Однак, перетином однополостного гіперболоїда площиною Oxy є еліпс. Найменший еліпс гиперболоида називається горловим еліпсом. У цьому випадку, z = 0, а еліпс проходить через початок координат. Рівняння горлового еліпса при z = 0 записується таким чином: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1Остальние еліпси мають рівняння такого вигляду: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 + h ^ 2 / c ^ 2, де h - висота однополостного гіперболоїда.

Побудова гиперболоида почніть із зображення гіперболи в площині Xoz. Начартом дійсну піввісь, яка збігається з віссю y і уявну піввісь, збігається з z. Побудуйте гіперболу, а потім задайте деяку висоту h гіперболоїда. Після цього, на рівні заданої висоти проведіть прямі, паралельні Ox і перетинають графік гіперболи в нижніх і верхніх точках.Затем аналогічним чином у площині Oyz побудуйте гіперболу, де b - дійсна піввісь, що проходить через вісь y, а з - уявна піввісь, також збігається з c.Постройте в площині Oxy паралелограм, який виходить шляхом з'єднання точок графіків гіпербол. Накресліть горловий еліпс таким чином, щоб він був вписаний в цей паралелограм. Аналогічним чином побудуйте інші еліпси. В результаті вийде креслення тіла обертання - однополостного гіперболоїда, зображеного на рис.1

Двуполостной гіперболоїд отримав свою назву через двох різних поверхонь, які утворені віссю Oz. Рівняння такого гиперболоида має наступний вигляд: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 -z ^ 2 / c ^ 2 = -1Две порожнини виходять при побудові гіперболи в площині Oxz і Oyz. У двуполостного гиперболоида перетину - еліпси: x ^ 2 / a ^ 2-y ^ 2 / b ^ 2 = h ^ 2 / c ^ 2-1Также, як і у випадку з однополостного гіперболоїдом, побудуйте в площинах Oxz і Oyz гіперболи, які будуть розташовуватися таким чином, як показано на малюнку 2. Побудуйте внизу і нагорі паралелограми для побудови еліпсів. Побудувавши еліпси, приберіть все проекції побудови, а потім накресліть двуполостной гіперболоїд.