ЯК знайти відстань між прямими на площині

Пряма на площині однозначно задається двома точками цій площині. Під відстанями між двома прямими розуміють довжину найкоротшого відрізка між ними, тобто довжину їх загальної перпендикуляра. Найкоротший спільний перпендикуляр для двох заданих прямих є постійною величиною. Таким чином, щоб відповісти на питання поставленого завдання, треба мати на увазі, що відшукується відстань між двома заданими паралельними прямими знаходиться на заданій площині. Здавалося б, що немає нічого простіше: взяти довільну точку на першій прямій і опустити з неї перпендикуляр на другу. Циркулем і лінійкою зробити це елементарно. Однак це всього лише ілюстрація майбутнього рішення, яке передбачає точне обчислення довжини такого спільного перпендикуляра.

Вам знадобиться

- ручка;
- папір.

Інструкція

Для вирішення поставленого завдання необхідно використовувати методи аналітичної геометрії, прикріпивши площину і прямі до системи координат, що дозволить не тільки точно розрахувати необхідну відстань, але і піти від пояснювальних ілюстрацій.
Основні рівняння прямої на площині мають такий вигляд.
1. Рівняння прямої, як графіка лінійної функції: y = kx + b.
2. Загальне рівняння: Ax + By + D = 0 (тут n = {A, B} - вектор нормалі до цієї прямої).
3. Канонічне рівняння: (x-x0) / m = (y-y0) / n.
Тут (x0, yo) - будь-яка точка, що лежить на прямой- {m, n} = s - координати її направляючого вектора s.
Очевидно, що якщо йде пошук перпендикулярної прямої, заданої загальним рівнянням, то s = n.

Нехай перша з паралельних прямих f1 задана рівнянням y = kx + b1. Перевівши вираження в загальний вигляд, у вас вийде kx-y + b1 = 0, тобто A = k, B = -1. Нормаллю до неї буде n = {k, -1}.
Тепер слід взяти довільну абсциссу точки х1 на f1. Тоді її ордината y1 = kx1 + b1.
Нехай рівняння другого з паралельних прямих f2 буде мати вигляд:
у = kx + b2 (1),
де k однаково для обох прямих, в силу їх паралельності.

Далі вам необхідно скласти канонічне рівняння лінії перпендикулярної як f2, так і f1, що містить точку М (x1, y1). При цьому вважають, що х0 = х1, y0 = y1, S = {k, -1}. В результаті у вас повинно вийде наступне рівність:
(X-x1) / k = (y-kx1-b1) / (- 1) (2).

Вирішивши систему рівнянь, що складається з виразів (1) і (2), ви знайдете другу точку, що визначає шукане відстань між паралельними прямими N (x2, y2). Само шукане відстань дорівнюватиме d = | MN | = ((x2-x1) ^ 2 + (y2-y1) ^ 2) ^ 1/2.

Приклад. Нехай рівняння заданих паралельних прямих на площині f1 - у = 2x +1 (1) -
f2 - y = 2x + 5 (2). Беремо довільну точку х1 = 1 на f1. Тоді y1 = 3. Перша точка, таким чином матиме координати M (1,3). Рівняння загального перпендикуляра (3):
(Х-1) / 2 = -y + 3 або y = - (1/2) x + 5/2.
Підставивши це значення y в (1), можна отримати:
-(1/2) x + 5/2 = 2х + 5, (5/2) х = -5 / 2, х2 = -1, y2 = - (1/2) (- 1) + 5/2 = 3 .
Друга підстава перпендикуляра знаходиться в точці з координатами N (-1, 3). Відстань між паралельними прямими складе:
d = | MN | = ((3-1) ^ 2 + (3 + 1) ^ 2) ^ 1/2 = (4 + 16) ^ 1/2 = 4,47.