ЯК знайти рівняння бісектриси

Нехай дано дві пересічні прямі, задані своїми рівняннями. Потрібно знайти рівняння прямої, яка, проходячи через точку перетину цих двох прямих, ділила б точно навпіл кут між ними, тобто була б биссектрисой.

Інструкція

Припустимо, що прямі задані своїми канонічними рівняннями. Тоді A1x + B1y + C1 = 0 і A2x + B2y + C2 = 0. При цьому A1 / B1? A2 / B2, інакше прямі паралельні і завдання не має сенсу.

Оскільки очевидно, що дві пересічні прямі утворюють між собою чотири попарно рівних кута, то повинні існувати рівно дві прямі, що задовольняють умові завдання.

Ці прямі будуть перпендикулярні один одному. Доказ цього твердження досить просто. Сума чотирьох кутів, утворених пересічними прямими, буде завжди дорівнює 360 °. Оскільки кути попарно рівні, то цю суму можна представити у вигляді:
2a + 2b = 360 ° або, що очевидно, a + b = 180 °.
Оскільки перша з шуканих биссектрис ділить навпіл кут a, а друга - кут b, то кут між самими биссектрисами завжди дорівнює a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2 = 90 °.

Бісектриса, за визначенням, ділить кут між прямими навпіл, а значить, для будь-якої точки, що лежить на ній, відстані до обох прямих будуть однаковими.

Якщо пряма задана канонічним рівнянням, то відстань від неї до деякої точки (x0, y0), що не лежить на цій прямій:
d = | (Ax0 + By0 + C) / (v (A ^ 2 + B ^ 2)) |.
Отже, для будь-якої точки, що лежить на шуканої бісектрисі:
| (A1 * x + B1 * y + C1) / v (A1 ^ 2 + B1 ^ 2) | = | (A2 * x + B2 * y + C2) / v (A2 ^ 2 + B2 ^ 2) |.

Через те, що в обох частинах рівності стоять знаки модуля, воно описує відразу обидві шукані прямі. Щоб перетворити його в рівняння тільки однією з биссектрис, потрібно розкрити модуль або зі знаком +, або зі знаком -.
Таким чином, рівняння першого бісектриси:
(A1 * x + B1 * y + C1) / v (A1 ^ 2 + B1 ^ 2) = (A2 * x + B2 * y + C2) / v (A2 ^ 2 + B2 ^ 2).
Рівняння другого бісектриси:
(A1 * x + B1 * y + C1) / v (A1 ^ 2 + B1 ^ 2) = - (A2 * x + B2 * y + C2) / v (A2 ^ 2 + B2 ^ 2).

Наприклад, нехай задані прямі, визначені канонічними рівняннями:
2x + y -1 = 0,

x + 4y = 0.
Рівняння їх першої бісектриси виходить з рівності:
(2x + y -1) / v (2 ^ 2 + 1 ^ 2) = (x + 4y + 0) / v (1 ^ 2 + 4 ^ 2), тобто
(2x + y - 1) / v5 = (x + 4y) / v15.
Розкриваючи дужки і переводячи рівняння в канонічний вигляд:
(2 * v3 - 1) * x + (v3 - 4) * y - v3 = 0.