ЯК знайти точку, симетричну відносно прямої

Нехай дано деяка пряма, задана лінійним рівнянням, і крапка, задана своїми координатами (x0, y0) і не лежача на цій прямій. Потрібно знайти точку, яка була б симетрична даній точці щодо даної прямої, тобто збігалася б з нею, якщо площину подумки зігнути навпіл уздовж цієї прямої.

Інструкція

Ясно, що обидві точки - задана і шукана - повинні лежати на одній прямій, причому ця пряма повинна бути перпендикулярна даній. Таким чином, перша частина завдання полягає в тому, щоб знайти рівняння прямої, яка була б перпендикулярна деякої даної прямої і при цьому проходила б через дану точку.

Пряма може бути задана двома способами. Канонічне рівняння прямої виглядає так: Ax + By + C = 0, де A, B, і C - константи. Також пряму можна визначити за допомогою лінійної функції: y = kx + b, де k - кутовий коефіцієнт, b - зсув.
Ці два способи взаємозамінні, і від будь-якого можна перейти до іншого. Якщо Ax + By + C = 0, то y = - (Ax + C) / B. Іншими словами, в лінійної функції y = kx + b кутовий коефіцієнт k = -A / B, а зсув b = -C / B. Для поставленої задачі зручніше міркувати, виходячи з канонічного рівняння прямої.

Якщо дві прямі перпендикулярні один одному, і рівняння першої прямої Ax + By + C = 0, то рівняння другий прямий має виглядати Bx - Ay + D = 0, де D - константа. Щоб знайти конкретне значення D, потрібно додатково знати, через яку точку проходить перпендикулярна пряма. В даному випадку це точка (x0, y0).
Отже, D має задовольняти рівності: Bx0 - Ay0 + D = 0, тобто D = Ay0 - Bx0.

Після того як перпендикулярна пряма знайдена, потрібно обчислити координати точки її перетину з даною. Для цього потрібно вирішити систему лінійних рівнянь:
Ax + By + C = 0,

Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0.
Її рішення дасть числа (x1, y1), службовці координатами точки перетину прямих.

Шукана точка повинна лежати на знайденій прямій, причому її відстань до точки перетину має дорівнювати відстані від точки перетину до точки (x0, y0). Координати точки, симетричної точці (x0, y0), можна, таким чином, знайти, вирішивши систему рівнянь:
Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,

v ((x1 - x0) ^ 2 + (y1 - y0) ^ 2 = v ((x - x1) ^ 2 + (y - y1) ^ 2).

Але можна поступити простіше. Якщо точки (x0, y0) і (x, y) знаходяться на рівних відстанях від точки (x1, y1), і всі три точки лежать на одній прямій, то:
x - x1 = x1 - x0,

y - y1 = y1 - y0.
Отже, x = 2x1 - x0, y = 2y1 - y0. Підставивши ці значення в друге рівняння першої системи і спростивши вираження, легко переконатися, що права його частина стає ідентична лівій. Додатково враховувати перше рівняння вже немає сенсу, оскільки відомо, що точки (x0, y0) і (x1, y1) йому задовольняють, а точка (x, y) завідомо лежить на тій же прямій.