ЯК знайти нормальний вектор до площини

Нормальним вектором площині (Або нормаллю площині) Називають вектор, перпендикулярний даній площині. Одним із способів задати площину є вказівка координат її нормалі і точки, що лежить на площині. Якщо площина задана рівнянням Ax + By + Cz + D = 0, то нормальним до неї є вектор з координатами (ABC). В інших випадках для обчислення нормального вектора доведеться потрудитися.

Інструкція

Нехай площину задана трьома належними їй точками K (xk-yk-zk), M (xm-ym-zm), P (xp-yp-zp). Щоб знайти нормальний вектор, складемо рівняння цієї площині. Позначте довільну точку, що лежить на площині, буквою L, хай у неї будуть координати (xyz). Тепер розгляньте три вектора PK, PM і PL, вони лежать на одній площині (Компланарність), тому їх змішане твір дорівнює нулю.

Знайдіть координати векторів PK, PM і PL:
PK = (xk-xp-yk-yp-zk-zp)
PM = (xm-xp-ym-yp-zm-zp)
PL = (x-xp-y-yp-z-zp)
Змішане твір цих векторів буде одно определителю, представленому на малюнку. Цей визначник слід обчислити, щоб знайти рівняння для площині. Обчислення змішаного твори для конкретного випадку дивіться у прикладі.

Приклад
Нехай площину задана трьома точками K (2-1--2), M (0-0--1) і P (1-8-1). Потрібно знайти нормальний вектор площині.
Візьміть довільну точку L з координатами (xyz). Обчисліть вектори PK, PM і PL:
PK = (2-1-1-8--2-1) = (1--7--3)
PM = (0-1-0-8--1-1) = (-1--8--2)
PL = (x-1-y-8-z-1)
Складіть визначник для змішаного добутку векторів (він на малюнку).

Тепер розкладіть визначник по першому рядку, а потім підрахуйте значення визначників розміру 2 на 2.
Таким чином рівняння площині -10x + 5y - 15z - 15 = 0 або, що те ж, -2x + y - 3z - 3 = 0. Звідси легко визначити вектор нормалі до площині: N = (-2-1--3).