ЯК знайти максимальне значення функції

Нехай дана деяка функція, задана аналітично, тобто виразом вигляду f (x). Потрібно дослідити функцію і обчислити максимальне значення, яке вона приймає на заданому відрізку [a, b].

Інструкція

Перш за все потрібно встановити, чи визначена задана функція на всьому відрізку [a, b] і якщо у неї є точки розриву, то якого роду ці розриви. Наприклад, функція f (x) = 1 / x зовсім не має ні максимального, ні мінімального значення на відрізку [-1, 1], оскільки в точці x = 0 прагне до плюс нескінченності справа і до мінус нескінченності зліва.

Якщо задана функція - лінійна, тобто задана рівнянням виду y = kx + b, де k? 0, то вона на всій своїй області визначення монотонно зростає, якщо k> 0- і монотонно убуває, якщо k < 0. Следовательно, максимальным ее значением на любом заданном отрезке будет f(b), если k > 0- і f (a), якщо k < 0.

Наступний крок - дослідження функції на екстремуми. Навіть якщо встановлено, що f (a)> f (b) (або навпаки), функція може досягати великих значень в точці максимуму.

Щоб знайти точку максимуму, необхідно вдатися до допомоги похідної. Відомо, що якщо в точці x0 функція f (x) має екстремум (тобто максимум, мінімум або стаціонарну точку), то її похідна f? (X) в цій точці звертається в нуль: f? (X0) = 0.

Для визначення, який із трьох видів екстремуму знаходиться у виявленій точці, потрібно дослідити поведінку похідної в її околицях. Якщо вона змінює знак з плюса на мінус, тобто монотонно убуває, то в знайденій точці початкова функція має максимум. Якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс, тобто монотонно зростає, то в знайденій точці початкова функція має мінімум. Якщо ж, нарешті, похідна не міняє знака, то x0 - це стаціонарна точка для вихідної функції.

У тих випадках, коли обчислити знаки похідної в околицях знайденої точки складно, можна скористатися другою похідною f ?? (x) і визначити знак цієї функції в точці x0:

- якщо f ?? (x0)> 0, то знайдена точка мінімуму-
- якщо f ?? (x0) < 0, то найдена точка максимума-
- нарешті, якщо f ?? (x0) = 0, то знайдена стаціонарна точка.

Для остаточного вирішення завдання необхідно вибрати максимальне з значень функції f (x) на кінцях відрізка і у всіх знайдених точках максимуму.