ЯК довести безперервність функції

Функція називається неперервною, якщо в її відображенні відсутні скачки при малих змінах аргументу між цими точками. Графічно така функція зображується суцільною лінією, без пропусків.

Інструкція

Доказ безперервності функції в точці здійснюється за допомогою так званих? -? - Міркувань. ? -? визначення звучить так: нехай x_0 належить безлічі X, тоді функція f (x) неперервна в точці x_0, якщо для будь-якого? > 0 існує таке? > 0, що з | x - x_0 | < ? следует |f(x) - f(x_0)| < ?. Функция непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой его точке.

Інше визначення безперервності: функція f (x) є неперервною в точці x = x_0, якщо приріст функції в цій точці нескінченно мало. Тобто f (x) = f (x_0) +? (x), де? (x) - нескінченно мала величина при x, що прагне до x_0.

Приклад 1: доведіть безперервність функції f (x) = x ^ 2 у точці x_0.

Доказ

За? -? визначенню існує таке? > 0, що | x ^ 2 - x_0 ^ 2 | < ?. Приведите неравенство к следующему виду с неизвестной величиной |x – x_0|:

| X ^ 2 - x_0 ^ 2 | = | x ^ 2 - 2 * x * x_0 + x_0 ^ 2 + 2 * x_0 * x - 2 * x_0 ^ 2 | = | (x - x_0) ^ 2 + 2 * x_0 * (x - x_0) | < ?.

Вирішіть квадратне рівняння (x - x_0) ^ 2 + 2 * x_0 * (x - x_0) -? = 0. Знайдіть дискримінант D = v (4 * x_0 ^ 2 + 4 *?) = 2 * v (| x_0 | ^ 2 +?). Тоді корінь дорівнює | x - x_0 | = (-2 * x_0 + 2 * v (| x_0 | ^ 2 +?)) / 2 = v (| x_0 | ^ 2 +?). Отже, функція f (x) = x ^ 2 неперервна при | x - x_0 | = v (| x_0 | ^ 2 +?) =?.

Деякі елементарні функції є безперервними на всій області визначення (безлічі значень X):

f (x) = C (константа) - все тригонометричні функції - sin x, cos x, tg x, ctg x та ін.

Приклад 2: доведіть безперервність функції f (x) = sin x.

Доказ

За визначенням безперервності функції по її нескінченно малому приросту запишіть:

?f = sin (x +? x) - sin x.

Перетворіть за формулою для тригонометричних функцій:

?f = 2 * cos ((x +? x) / 2) * sin (? x / 2).

Функція cos обмежена при x? 0, а межа функції sin (? X / 2) прагне до нуля, отже, вона є нескінченно малою при? X> 0. Твір обмеженою функції і нескінченно малоq величини, а значить і прирощення вихідної функції? F також є нескінченною малою величиною. Отже, функція f (x) = sin x неперервна для будь-якого значення x.