ЯК знайти другу похідну функції

Диференціальні обчислення - розділ математичного аналізу, який вивчає похідні першого і вищих порядків як один з методів дослідження функцій. Друга похідна деякої функції виходить з першої повторним диференціюванням.

Інструкція

Похідна деякої функції в кожній точці має певне значення. Таким чином, при її диференціюванні виходить нова функція, яка також може бути дифференцируема. У цьому випадку її похідна називається другою похідною вихідної функції і позначається F '' (x).

Першої похідної називається межа приросту функції до приросту аргументу, тобто: F '(x) = lim (F (x) - F (x_0)) / (x - x_0) при x> 0.Второй похідною вихідної функції є похідна функції F '(x) в тій же точці x_0, а саме: F' '(x) = lim (F' (x) - F '(x_0)) / (x - x_0).

Для знаходження других похідних складних функцій, які важко визначити звичайним способом, застосовують методи чисельного диференціювання. При цьому для розрахунку використовують наближені формули: F '' (x) = (F (x + h) - 2 * F (x) + F (x - h)) / h ^ 2 +? (H ^ 2) F ' '(x) = (-F (x + 2 * h) + 16 * F (x + h) - 30 * F (x) + 16 * F (x - h) - F (x - 2 * h)) / (12 * h ^ 2) +? (h ^ 2).

Основа методів чисельного диференціювання - апроксимація інтерполяційним многочленом. Наведені формули виходять в результаті подвійного диференціювання інтерполяційних многочленів Ньютона і Стірлінга.

Параметр h є кроком апроксимації, прийнятим для розрахунків, а? (H ^ 2) - це похибка апроксимації. Аналогічно? (H) для першої похідної ця нескінченно мала величина обернено пропорційна h ^ 2. Відповідно, вона тим більше, чим менше довжина кроку. Тому для мінімізації похибки важливо вибрати найоптимальніше значення h.Вибор оптимального значення h називається регуляризації по кроці. При цьому вважають, що є таке значення h, що вірно: | F (x + h) - F (x) |>?, Де? - Деяка мала величина.

Існує інший алгоритм мінімізації похибки апроксимації. Він полягає у виборі декількох точок області значень функції F поблизу початкової точки x_0. Потім обчислюються значення функції в цих точках, за якими будується лінія регресії, яка є згладжуючої для F на малому інтервалі.

Отримані значення функції F являють собою часткову суму ряду Тейлора: G (x) = F (x) + R, де G (x) - згладжена функція з похибкою апроксимації R. Після дворазового диференціювання отримаємо: G '' (x) = F '' (x ) + R '', звідки R '' = G '' (x) - F '' (x) .Велічіна R '' як відхилення наближеного значення функції від її справжнього значення і буде мінімальною похибкою апроксимації.