? ЯК вирішувати диференціальні лінійні рівняння

Диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похідна входять лінійно, тобто в першому ступені, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Інструкція

Загальний вигляд лінійного диференціального рівняння першого порядку такий:

y? + P (x) * y = f (x),

де y - невідома функція, а p (x) і f (x) - деякі задані функції. Вони вважаються безперервними в тій області, в якій вимагається проинтегрировать рівняння. Зокрема, вони можуть бути і константами.

Якщо f (x)? 0, то рівняння називають однородним- якщо ні - то, відповідно, неоднорідним.

Лінійне однорідне рівняння може бути вирішено методом розділення змінних. Його загальний вигляд: y? + P (x) * y = 0, отже:

dy / dx = -p (x) * y, звідки випливає, що dy / y = -p (x) dx.

Інтегруючи обидві частини отриманого рівності, отримуємо:

?(Dy / y) = -? P (x) dx, тобто ln (y) = -? P (x) dx + ln (C) або y = C * e ^ (-? P (x) dx)) .

Рішення неоднорідного лінійного рівняння можна вивести з рішення відповідного однорідного, тобто того ж самого рівняння з відкинутою правою частиною f (x). Для цього потрібно замінити константу C у вирішенні однорідного рівняння невідомою функцією? (X). Тоді рішення неоднорідного рівняння буде представлено у вигляді:

y =? (x) * e ^ (-? p (x) dx)).

Диференціюючи цей вираз, одержимо, що похідна від y дорівнює:

y? = ?? (X) * e ^ (-? P (x) dx) -? (X) * p (x) * e ^ (-? P (x) dx).

Підставивши знайдені вирази для y і y? у вихідне рівняння і спростивши отримане, легко прийти до результату:

d? / dx = f (x) * e ^ (? p (x) dx).

Після інтегрування обох частин рівності воно отримує вигляд:

?(X) =? (F (x) * e ^ (? P (x) dx)) dx + C1.

Таким чином, шукана функція y виразиться у вигляді:

y = e ^ (-? p (x) dx) * (C +? f (x) * e ^ (? p (x) dx)) dx).

Якщо прирівняти постійну C нулю, то з виразу для y можна отримати приватне рішення заданого рівняння:

y1 = (e ^ (-? p (x) dx)) * (? f (x) * e ^ (? p (x) dx)) dx).

Тоді повне рішення можна буде виразити у вигляді:

y = y1 + C * e ^ (-? p (x) dx)).

Іншими словами, повне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння першого порядку дорівнює сумі його приватного рішення і загального рішення відповідного однорідного лінійного рівняння першого порядку.