? ЯК вирішувати лінійні рівняння з Гауссом

Для вирішення поставленого завдання потрібно поняття рангу матриці, а також теорема Кронекера-Капеллі. Рангом матриці називається розмірність найбільшого відмінного від нуля визначника, який можна виділити з матриці.

Вам знадобиться

- папір;
- ручка.

Інструкція

Теорема Кронекера-Капеллі звучить наступним чином: для того щоб система лінійних рівнянь (1) була сумісна необхідно і достатньо, щоб ранг розширеної матриці системи дорівнював рангу матриці системи. Система т лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має вигляд (див. Рис. 1), де аij - коефіцієнти системи, хj - невідомі, bi - вільні члени (i = 1, 2, ..., т-j = 1, 2 , ..., п).

Метод Гаусса

Метод Гаусса полягає в тому, що вихідну систему шляхом виключення невідомих перетворять до ступенчатому увазі. При цьому еквівалентні лінійні перетворення виконуються над рядками в розширеній матриці.

Метод складається з прямого і зворотного ходів. Прямим ходом є приведення розширеної матриці системи (1) до ступінчастого вигляду шляхом елементарних перетворень над рядками. Після чого відбувається дослідження системи на спільність і визначеність. Потім за ступеневою матриці відновлюється система рівнянь. Вирішення цієї ступінчастою системи рівнянь є зворотним ходом методу Гауса, в якому, починаючи з останнього рівняння, послідовно обчислюються невідомі з великим порядковим номером, і їх значення підставляються в попереднє рівняння системи.

Дослідження системи в кінці прямого ходу проводиться за теоремою Кронекера-Капеллі порівнянням рангів матриці системи А (rangA) і розширеної матриці А '(rang (A').

Слід розглянути реалізацію методу Гауса на прикладі.
Приклад. Вирішити систему рівнянь (див. Рис.2).

Рішення. Вирішіть систему методом Гаусса. Випишете розширену матрицю системи і приведіть її до східчастого увазі елементарними перетвореннями рядків (прямий хід). Рядки тільки складаються, з урахуванням зазначених збоку коефіцієнтів і на напрями, заданих перпендикулярів зі стрілками (див. Рис. 3), тому система сумісна і має єдине рішення, тобто є визначеною.

Складіть систему ступеневої виду і вирішите її (зворотний хід). Рішення приведено на рис.4. Перевірку легко зробити методом підстановки.

Відповідь: x = 1, y = -2, z = 3.

Якщо число рівнянь менше числа змінних, то виникають вільні невідомі, що позначаються вільними постійними. На стадії зворотного ходу через них виражаються всі інші невідомі.