ЯК вирішувати матричне рівняння

Вирішити матричне рівняння аж ніяк не так складно, як може здатися на перший погляд. Для того щоб впоратися з цим завданням, вам необхідно вміти перемножать і знаходити зворотні матриці. Тому для початку варто згадати, як це робиться.

Вам знадобиться

- ручка;
- папір.

Інструкція

Таке перемножування називають «рядок на стовпець».
Множення матриці А на В визначено в разі рівності числа стовпців А числу рядків В. Операція множення позначається як і звичайне арифметичне дію - знаком «?» Або просто АВ. Якщо С = АВ, то її елементи будуть перемножуються за наступним правилом (див. Рис.1.):

Для кожної невиродженої квадратної матриці А (визначник | A | не дорівнює нулю) існує єдина обернена матриця, що позначається А ^ -1,
така, що А ^ -1? А = А А ^ (- 1) = Е.
Матриця Е називається одиничною, вона складається з одиниць на головній діагоналі, решта елементи - нулі. А ^ (- 1) обчислюється за наступним правилом (див. Рис.2.):

Тут Аij - алгебраїчне доповнення відповідного елемента визначника матриці А. Аij отримують видаленням з визначника | A | i-рядка і j-стовпця, на перетині яких лежить а (ij), і множенням знову отриманого визначника на (-1) ^ (i + j).
Фактично приєднана матриця - це транспонована матриця з алгебраїчних доповнень елементів матриці А. Транспонування - це заміна стовпців матриці на рядки (і навпаки). А транспонована позначається А ^ Т.

Приклад 1. Знайти обернену матрицю для A ^ (- 1) (див. Рис.3).

Матричні рівняння історично з'явилися у зв'язку з необхідністю отримання компактних алгоритмів розв'язання систем лінійних рівнянь. Вид такої системи (див. Рис.4.)

Якщо ввести поняття матриці коефіцієнтів цієї системи A = (a (ij)), i = 1,2, ..., n- j = 1,2, ..., n матриці-стовпця змінних Х = (x1, x2, ..., xn) ^ T і матриці стовпця правих частин B = (b1, b2, ..., bn) ^ Т, то компактно в матричної формі система рівнянь запишеться у вигляді АХ = В. Подальше рішення полягає в множенні цього рівняння на зворотну матрицю А ^ (- 1) зліва. Отримуємо (АА ^ (- 1)) Х = А ^ (- 1) У, ЕХ = А ^ (- 1) У, Х = А ^ (- 1) У.
Приклад 2. Використовуючи матрицю коефіцієнтів А попереднього прикладу №1, знайти рішення матричного рівняння, в якому В = (6, 12, 0) ^ T. Тоді Х = А ^ (- 1) У. А ^ (- 1) вже знайдено в попередньому прикладі (див. Рис.5).

Або х1 = 6, х2 = 0, х3 = 0.
У запропонованій вище системі АХ = В матриці Х і У можуть бути не тільки матрицями-стовпцями, а й мають велику розмірність. Наприклад, (див. Рис.6)