? ЯК знайти базис :: Математика

Спосіб докази відкривається безпосередньо з визначення базису.Будь впорядкована система n лінійно незалежних векторів простору R ^ n називається базисом цього простору.

Вам знадобиться

- папір;
- ручка.

Інструкція

Знайдіть який-небудь короткий ознака лінійної незавісімості.Теорема. Система з т векторів простору R ^ n є лінійно незалежною тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з координат цих векторів дорівнює т.

Доказ. Використовуємо визначення лінійної незалежності, яке свідчить, що утворюють систему вектори лінійно незалежні (тоді і тільки тоді), якщо рівність нулю будь-якої їх лінійної комбінації досяжною лише при рівності нулю всіх коефіцієнтів цієї комбінаціі.Далее див. Рис. 1, де все написано найбільш подробно.На рис.1 в шпальтах розташовані набори чисел xij, j = 1, 2, ..., n відповідні вектору xi, i = 1, ..., m.

Виконайте дії за правилами лінійних операцій в просторі R ^ n. Так як кожен вектор в R ^ n однозначно визначається впорядкованим набором чисел, прирівняти «координати» рівних векторів і отримаєте систему n лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь з n невідомими a1, a2, ..., am (див. Рис.2).

Лінійна незалежність системи векторів (x1, x2, ..., xm) в силу еквівалентних перетворень еквівалентна тому, що однорідна система (рис. 2) має єдине нульове рішення. Спільна система тоді і тільки тоді має єдине рішення, коли ранг матриці (матриця системи складена з координат векторів (x1, x2, ..., xm) системи дорівнює числу невідомих, тобто n.Ітак, для того щоб обгрунтувати той факт, що вектори утворюють базис, слід скласти з їх координат визначник і переконатися, що він не дорівнює нулю.