ЯК привести матрицю до ступінчастого вигляду

Матриця - це система елементів, розташованих у вигляді прямокутної таблиці. Для визначення рангу матриці, знаходження її визначника і зворотної матриці необхідно привести задану матрицю до ступенчатому увазі. Матриці ступеневої виду також зручні для виконання інших операцій над матрицями.

Інструкція

Матриця називається ступінчастою, якщо виконані наступні умови:
• після нульової рядки йдуть тільки нульові строкі-
• перший ненульовий елемент в кожній наступній рядку розташований правіше, ніж у попередній.
У лінійній алгебрі є теорема, згідно з якою будь-яка матриця може бути приведена до ступенчатому увазі шляхом наступних елементарних перетворень:
• зміна місцями двох рядків матріци-
• додаток до одного рядка матриці інший її рядки, помноженої на число.

Розглянемо приведення матриці до ступінчастого увазі на прикладі матриці A, представленої на малюнку. Вирішуючи завдання, першим ділом уважно вивчіть рядка матриці. Чи можливо переставити місцями рядки так, щоб надалі було зручніше проводити обчислення. У нашому випадку ми бачимо, що буде зручно поміняти місцями першу і другу строчки. По-перше, якщо перший елемент першого рядка дорівнює числу 1, то це значно спрощує подальші елементарні перетворення. По-друге, другий рядок вже буде відповідати ступенчатому увазі, тобто перший її елемент дорівнює 0.

Далі обнуліть всі перші елементи стовпців (крім першого рядка). У нашому випадку це зробити простіше, тому перший рядок починається з числа 1. Тому ми послідовно множимо першу сходинку на відповідне число і віднімаємо з отриманої рядка рядок матриці. Обнуляючи третій рядок, множимо перший рядок на число 5 і віднімаємо з результату третій рядок. Обнуляючи четвертий рядок, множимо перший рядок на число 2 і віднімаємо з результату четвертий рядок.

Наступним етапом обнуліть другий елементи рядків, починаючи з третього рядка. Для нашого прикладу для обнулення другого елементу третьої строчки досить помножити другий рядок на число 6 і відняти з результату третю сходинку. Для отримання нуля в четвертому рядку доведеться виконати більш складне перетворення. Треба помножити другий рядок на число 7, а четверту сходинку на число 3. Таким чином ми отримаємо на місці другого елементу рядків число 21. Далі віднімаємо одну сходинку з іншої і отримуємо на місці другого елементу 0.

І нарешті, Обнуляємо третій елемент четвертого рядка. Для цього необхідно помножити третій рядок на число 5, а четвертий рядок на число 3. Віднімаємо один рядок з іншої і отримуємо матрицю A, приведену до ступенчатому увазі.