? ЯК отримати зворотну матрицю

Для кожної невиродженої (з визначником | A |, що не дорівнює нулю) квадратної матриці А існує єдина обернена матриця, що позначається А ^ (- 1), така, що (А ^ (- 1)) А = А, А ^ (- 1 ) = Е.

Інструкція

Е називається одиничною матрицею. Вона складається з одиниць на головній діагоналі - інше нулі. Обчислюється А ^ (- 1) таким чином (див. Рис.1.). Тут А (ij) - алгебраїчне доповнення елемента а (ij) визначника матриці А. А (ij) отримують видаленням з | A | рядка і стовпчика, на перетині яких лежить а (ij), і множенням знову отриманого визначника на (-1) ^ (i + j) .Фактично приєднана матриця - це транспонована матриця з алгебраїчних доповнень елементів А. Транспонування - це заміна стовпців матриці на рядки (і навпаки) . Tранспонірованная матриця позначається А ^ T.

Найпростішими є матриці розміру 2х2. Тут будь-яке алгебраїчне доповнення - просто протилежний по діагоналі елемент, взятий зі знаком «+», якщо сума індексів його номера парна, і зі знаком «-», якщо непарна. Таким чином, щоб записати зворотну матрицю, на головній діагоналі вихідної матриці, потрібно поміняти місцями її елементи, а на побічної діагоналі - залишити їх на місці, але змінити знак, а потім все поділити на | A |.

Приклад 1. Знайти зворотну матрицю A ^ (- 1), представлену на малюнку 2.

Визначник цієї матриці не дорівнює нулю (| A | = 6) (за правилом Саррюс, воно ж правило трикутників). Це істотно, оскільки А не повинна бути виродженої. Далі знаходимо алгебраїчні доповнення матриці А і приєднану матрицю для А (див. рис. 3).

При більшої розмірності процес обчислення зворотної матриці стає занадто громіздким. Тому в таких випадках слід вдаватися до допомоги спеціалізованих комп'ютерних програм.