ЯК помножити вектор на матрицю :: множення матриці на вектор стовпець

У теорії матриць вектором називається матриця, що має тільки один стовпець або тільки один рядок. Множення такого вектора на іншу матрицю відбувається за загальними правилами, однак має і свої особливості.

Інструкція

За визначенням твори матриць множення можливо тільки в тому випадку, якщо кількість стовпців першого множника дорівнює кількості рядків другого. Отже, вектор-рядок вдасться помножити тільки на матрицю, в якій стільки ж рядків, скільки елементів у вектор-рядку. Аналогічно, вектор-стовпець можна помножити тільки на матрицю, в якій стільки ж стовпців, скільки елементів у вектор-стовпці.

Множення матриць некомутативними, тобто якщо A і B - матриці, то A * B? B * A. Більше того, існування твору A * B зовсім не гарантує існування твору B * A. Наприклад, якщо матриця A має розміри 3 * 4, а матриця B - 4 * 5, то твір A * B - матриця розміром 3 * 5, а B * A не визначене.

Нехай заданий: вектор-рядок A = [a1, a2, a3 ... an] і матриця B розмірності n * m, елементи якої рівні:
[B11, b12, b13, ... b1m-
b21, b22, b23, ... b2m-
...
bn1, bn2, bn3, ... bnm].

Тоді твір A * B буде вектор-рядком розмірності 1 * m, причому кожен елемент її дорівнює:

Cj =? Ai * bij (i = 1 ... n, j = 1 ... m).

Іншими словами, для знаходження i-того елемента твори потрібно помножити кожен елемент вектора-рядка на відповідний йому по порядку елемент i-того стовпця матриці і підсумувати ці твори.

Аналогічно, якщо задана матриця A розмірності m * n і вектор-стовпець B розмірності n * 1, то їх добуток буде вектором-стовпцем розмірності m * 1, i-тий елемент якого дорівнює сумі добутків елементів вектора-стовпця B на відповідні їм елементи i -той рядка матриці A.

Якщо A - вектор-рядок розмірності 1 * n, а B - вектор-стовпець розмірності n * 1, то твір A * B є числом, рівним сумі добутків відповідних елементів цих векторів:

c =? ai * bi (i = 1 ... n).

Це число називається скалярним, або внутрішнім, твором.

Результат множення B * A в цьому випадку є квадратною матрицею розмірності n * n. Її елементи дорівнюють:

Cij = ai * bj (i = 1 ... n, j = 1 ... n).

Така матриця називається зовнішнім твором векторів.