ЯК знайти матрицю, зворотну даної

Зворотна матриця позначаться А ^ (- 1). Вона існує для кожної невиродженої квадратної матриці А (визначник | A | не дорівнює нулю). Визначальне рівність - (А ^ (- 1)) А = А А ^ (- 1) = Е, де Е - одинична матриця.

Вам знадобиться

- папір;
- ручка.

Інструкція

Метод Гаусса полягає в наступному. Спочатку записується дана за умовою матриця А. Праворуч до неї додається розширення, яке складається з одиничної матриці. Далі виконується послідовне еквівалентне перетворення рядків А. Дія здійснюється до тих пір, поки зліва не утворюється одинична матриця. Матриця, що з'явилася на місці розширеної матриці (праворуч) і буде А ^ (- 1). При цьому варто дотримуватися наступної стратегії: спершу необхідно домогтися нулів знизу головної діагоналі, а потім сверху.Данний алгоритм простий при написанні, але на практиці до нього необхідно звикнути. Проте в наслідок ви зможете виконувати більшу частину дій в умі. Тому в прикладі всі дії будуть виконуватися вкрай детально (аж до окремого виписування рядків).

зворотний даній "class =" colorbox imagefield imagefield-imagelink "rel =" gallery-step-images "> Приклад. Дана матриця (див. рис.1). Для наочності в шукану матрицю відразу ж додано її розширення. Знайти матрицю, зворотний даної. Рішення. Всі елементи першого рядка помножте на 2. Отримайте: (2 0 -6 2 0 0). Отриманий результат необхідно відняти з усіх відповідних елементів другого рядка. В результаті у вас повинні бути наступні значення: (0 3 6 -2 1 0). Поділивши цю рядок на 3, отримаєте (0 1 2 -2/3 1/3 0). Запишіть ці значення в новій матриці у другий рядок.

Метою цих операцій є отримання «0» на перетині другого рядка і першого стовпця. Таким же чином слід отримати «0» на перетині третин рядка і першого стовпця, але там уже «0», тому переходьте до наступного етапу.Необходімо зробити «0» на перетині третин рядка і другого шпальти. Для цього розділіть другий рядок матриці на «2», а потім віднімете отримане значення з елементів третин рядка. Отримане значення має вигляд (0 1 2 -2/3 1/3 0) - це нова другий рядок.

Тепер слід відняти другий рядок з третьої, а отримані значення розділити на «2». В результаті у вас повинна вийти наступна рядок: (0 0 1 1/3 -1/6 1). У підсумку проведених перетворень, проміжна матриця буде мати вигляд (см.ріс.2) .слід етап - перетворення «2», що знаходиться на перетині другого рядка і третього стовпчика, в «0». Для цього помножте третій рядок на «2», а отримані значення віднімайте з другого рядка. В результаті нова другий рядок буде містити наступні елементи: (0 1 0 -4/3 2/3 -1).

Тепер помножте третій рядок на «3» і додайте отримані значення до елементів першого рядка. У підсумку отримаєте нову перший рядок (1 0 0 2 -1/2 3/2). При цьому шукана зворотна матриця знаходиться на місці розширення праворуч (рис.3).