ЯК знайти площу трикутника по векторах

Трикутник - це найпростіша з багатокутних плоских фігур, яку можна задати за допомогою координат точок у вершинах її кутів. Площа ділянки площині, який буде обмежений сторонами цієї фігури, в декартовій системі координат можна обчислити декількома способами.

Інструкція

Якщо координати вершин трикутника дано у двомірному декартовом просторі, то спочатку складіть матрицю з різниць значень координат точок, що лежать в вершинах. Потім використовуйте визначник другого порядку для отриманої матриці - він буде дорівнює векторному добутку двох векторів, що складають сторони трикутника. Якщо позначити координати вершин як A (X ?, Y?), B (X ?, Y?) І C (X ?, Y?), То формулу площі трикутника можна записати так: S = | (X? -X?) • (Y? -Y?) - (X? -X?) • (Y? -Y?) | / 2.

Наприклад, нехай дано такі координати вершин трикутника на двомірної площини: A (-2, 2), B (3, 3) і C (5, -2). Тоді, підставивши числові значення змінних в наведену на попередньому кроці формулу, ви отримаєте: S = | (-2-5) • (3 - (- 2)) - (3-5) • (2 - (- 2)) | / 2 = | -7 • 5 - (- 2) • 4 | / 2 = | -35 + 8 | / 2 = 27/2 = 13,5 сантиметрів.

Можна діяти по-іншому - спочатку обчислити довжини всіх сторін, а потім використовувати формулу Герона, яка визначає площу трикутника саме через довжини його сторін. У цьому випадку спочатку знайдіть довжини сторін, використовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника, складеного з самої сторони (гіпотенуза) і проекцій кожної сторони на осі координат (катети). Якщо позначити координати вершин як A (X ?, Y?), B (X ?, Y?) І C (X ?, Y?), То довжини сторін будуть наступними: AB = v ((X? -X?)? + (Y? -Y?)?), BC = v ((X? -X?)? + (Y? -Y?)?), CA = v ((X? -X?)? + (Y? -Y?)?). Наприклад, для координат вершин трикутника, наведених на другому кроці, ці довжини складуть AB = v ((- 2-3)? + (2-3)?) = V ((- 5)? + (- 1)?) = v (25 + 1)? 5,1, BC = v ((3-5)? + (3 - (- 2))?) = v ((- 2)?) + 5?) = v (4+ 25)? 5,36, CA = v ((5 - (- 2))? + (- 2-2)?) = v (7? + (- 4)?) = v (49 + 16)? 8 , 06.

Знайдіть напівпериметр, склавши відомі тепер довжини сторін і розділивши результат на двійку: p = 0,5 • (v ((X? -X?)? + (Y? -Y?)?) + V ((X? -X? )? + (Y? -Y?)?) + v ((X? -X?)? + (Y? -Y?)?)). Наприклад, для довжин сторін, розрахованих на попередньому кроці, напівпериметр буде приблизно дорівнює p? (5,1 + 5,36 + 8,06) / 2? 9,26.

Розрахуйте площа трикутника за формулою Герона S = v (p (p-AB) (p-BC) (p-CA)). Наприклад, для зразка з попередніх кроків: S = v (9,26 • (9,26-5,1) • (9,26-5,36) • (9,26-8,06)) = v (9 , 26 • 4,16 • 3,9 • 1,2) = v180,28? 13,42. Як бачите, результат на вісім сотих відрізняється від отриманого на другому кроці - це результат заокруглень, використаних при розрахунках на третьому, четвертому та п'ятому кроках.