ЯК знайти проміжки зростання функцій

Нехай задана функція - f (x), визначена своїм рівнянням. Завдання полягає в тому, щоб знайти проміжки її монотонного зростання або монотонного убування.

Інструкція

Функція f (x) називається монотонно зростаючою на проміжку (a, b), якщо для будь-якого x, що належить цьому проміжку, f (a) < f(x) < f(b).
Функція називається монотонно спадною на проміжку (a, b), якщо для будь-якого x, що належить цьому проміжку, f (a)> f (x)> f (b).

Якщо не дотримується жодна з цих умов, то функцію можна назвати ні монотонно зростаючою, ні монотонно спадною. У цих випадках потрібне додаткове дослідження.

Лінійна функція f (x) = kx + b монотонно зростає на всій своїй області визначення, якщо k> 0, і монотонно убуває, якщо k < 0. Если k = 0, то функция является константой и ее нельзя назвать ни возрастающей, ни убывающей.

Експоненціальна функція f (x) = a ^ x монотонно зростає на всій області визначення, якщо a> 1, і монотонно убуває, якщо 0 < a < 1. Если a = 1, то функция, как и в предыдущем случае, превращается в константу.

У загальному випадку функція f (x) може мати на заданій ділянці кілька проміжків зростання та спадання. Щоб їх знайти, необхідно дослідити її на екстремуми.

Якщо задана функція f (x), то її похідна позначається f? (X). Початкова функція має точку екстремуму там, де її похідна звертається в нуль. Якщо при проходженні цієї точки похідна змінює знак з плюса на мінус, то знайдена точка максимуму. Якщо похідна змінює знак з мінуса на плюс, то знайдений екстремум - точка мінімуму.

Нехай f (x) = 3x ^ 2 - 4x + 16, а проміжок, на якому її потрібно досліджувати - (-3, 10). Похідна функції дорівнює f? (X) = 6x - 4. Вона звертається в нуль в точці xm = 2/3. Оскільки f? (X) < 0 для любого x < 2/3 и f?(x) > 0 для будь-якого x> 2/3, то в знайденій точці у функції f (x) знаходиться мінімум. Її значення в цій точці одно f (xm) = 3 * (2/3) ^ 2 - 4 * (2/3) + 16 = 14, (6).

Виявлений мінімум лежить в межах заданої ділянки. Для подальшого аналізу необхідно обчислити f (a) і f (b). В даному випадку:
f (a) = f (-3) = 3 * (- 3) ^ 2 - 4 * (- 3) + 16 = 55,
f (b) = f (10) = 3 * 10 ^ 2 - 4 * 10 + 16 = 276.

Оскільки f (a)> f (xm) < f(b), то заданная функция f(x) монотонно убывает на отрезке (-3, 2/3) и монотонно возрастает на отрезке (2/3, 10).