ЯК обчислити число пі

Грецькою буквою? (Пі, pi) прийнято позначати відношення довжини кола до її діаметра. Це число, спочатку з'явившись у працях стародавніх геометрів, згодом виявилося дуже важливим в дуже багатьох галузях математики. А значить, його потрібно вміти обчислювати.

Інструкція

? - Ірраціональне число. Це означає, що його неможливо уявити у вигляді дробу з цілим чисельником і знаменником. Більш того,? - Трансцендентне число, тобто воно не може бути вирішенням ніякого алгебраїчного рівняння. Таким чином, точне значення числа? записати неможливо. Однак є методи, що дозволяють обчислити його з будь вимагається ступенем точності.

Найдавніші наближення, якими користувалися геометри Греції та Єгипту, кажуть, що? приблизно дорівнює квадратному кореню з 10 або дробу 256/81. Але ці формули дають значення?, Рівне 3,16, а цього явно недостатньо.

Архімед та інші математики обчислювали? за допомогою складної і трудомісткої геометричній процедури - вимірювання периметрів вписаних і описаних багатокутників. Одержане ними значення дорівнювало 3,1419.

Ще одна наближена формула визначає, що? = V2 + v3. Вона дає значення для?, Приблизно рівне 3,146.

З розвитком диференціального обчислення та інших нових математичних дисциплін у розпорядженні вчених з'явився новий інструмент - статечні ряди. Готфрід Вільгельм Лейбніц в 1674 році виявив, що нескінченний ряд
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 ... + (1 / (2n + 1) * (- 1) ^ n
в межі сходиться до суми, яка дорівнює? / 4. Обчислювати цю суму просто, однак, щоб досягти достатньої точності, знадобиться багато кроків, оскільки ряд сходиться дуже повільно.

Згодом були виявлені й інші статечні ряди, що дозволяють обчислювати? швидше, ніж за допомогою ряду Лейбніца. Наприклад, відомо, що tg (? / 6) = 1 / v3, отже, arctg (1 / v3) =? / 6.
Функція арктангенса розкладається в степеневий ряд, і для заданого значення ми в результаті отримуємо:
? = 2v3 * (1 - (1/3) * (1/3) + (1/5) * (1/3) ^ 2 - (1/7) * (1/3) ^ 3 ... + 1 / ( (2n + 1) * (- 3) ^ n) ...)
За допомогою цієї та інших аналогічних формул число ? було обчислено вже з точністю до мільйонів знаків після коми.

Для більшості практичних розрахунків цілком достатньо знати число ? з точністю до семи знаків після коми: 3,1415926. Його можна легко запам'ятати за допомогою мнемонічною фрази: «Три - чотирнадцять - п'ятнадцять - дев'яносто два і шість».